不动点与函数

不动点与函数 不动点与函数 一、一次函数的不动点 设是一个关于x的代数函数（即函数解析式为代数式），称方程的根为的不动点，如果把自变量的值x用数轴上的点（记为）来表示，其对应的函数值也用数轴上的点（记为）来表示（如图）．这样，我们可以把函数看成是给了数轴上的点的一个移动，即把x移动至处．在这个意义下，就表示没有被移动，这个点就称为不动点． 我们知道，一个函数有自己的定义域和值域，若函数有不动点，那么这个点既在的定义域内，又在其值域内，即定义域和值域有公共点．所以，一个函数有不动点的必要条件之一是它的定义域和值域有公共点．如果函数的值域完全包含在定义域内，也就具备了这种必要条件． 定理1：一次函数的不动点为，且 定理2：一次函数的不动点也是的n次迭代函数的不动点，且 证明： （1）当时， 由定理1可知，不动点， 且， 所以结论成立． （2）设当时结论成立，即的不动点为，且 则当时， 其不动点 即的不动点亦为，且 所以当时也成立， 综上，对一切，结论正确． 应当指出的是，在一次函数中： ①当时，不动点有无穷多个，也就是说，任何实数都是的不动点， ②当时，函数无不动点，这时函数的n次迭代式不能用不动点来表示，但容易得到， ③当时，，不能再迭代下去． 定义1．对于给定的函数和，若存在一个可逆函数，使得，则称和关于相似，记作，其中称为桥函数． 桥函数相似有如下性质： ①若，则； ②若，则； ③若，则 从上面性质可知，要求一个已知函数的n次迭代，只需找出一个桥函数以及简单函数，确定和可从的不动点来考虑． 若，则，所以，若，则，即是g的不动点，也就是桥函数具有的性质．即它将f的不动点映成g的不动点，通常为了便于求常取，这时的不动点为0或，此时，若有唯一不动点时，则可考虑取（或）．这（或）；若有两个不动点，则可考虑，这时 以下先给出一些较简单的函数的n次迭代式： ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 例1．已知，求 解：的不动点为或， 若，由④即可求得， 若，构造函数（显然以，）， 所以 计算，得 因为 所以 例2．若，求 解：函数的不动点为或1，取，则 因为（请读者自算）． 所以（由②迭代式）． 故 例3．已知，求的解析式． 解：因为， ， 易知， 事实上，上述解析式出现了十分有趣的“循环”现象． 即 所以 定义2．若存在最小自然数n，使得对定义域中的一切x均有，则称n