不动点解特殊方程

不动点解特殊方程 利用不动点法解特殊方程 任何一个方程的求解都可以化为求某个函数的不动点间题．因为，任一方程总可以写成的形式，这里是x的函数，将变为等式，记，就能得到与的同解方程，从而将求的解变成求函数不动点的问题了． 在解方程之前，我们往往先要了解方程解的情况，如果方程根本就无解，那么研究它的解法是没有意义的．另一方面，有些实际和理论问题的解决，只要求出方程的近似解，甚至并不需要对方程进行具体求解，而只要知道方程的解是否存在．举一个颇有影响的例子：公元1799年德国数学家高斯（Gauss）证明了“在复数范围内，n次代数方程：至少有一个根”．即著名代数基本定理．利用不动点理论，我们可以把方程的求根问题化为求函数的不动点问题，由于方程的根不可能超越复平面的某个半径很大的圆域，且函数显然是连续的．因此，在这个大圆域内运用布劳韦尔（Brouwer）不动点理论，知道至少存在一个，使，即，也就是说方程至少有一个根．可是，当时证明这个定理是艰辛的． 也许上述这个例子较抽象．我们不妨来看方程 （*） 要判定它是否有解，用常规方法是难以奏效的．事实上，判定方程（*）是否有解，就是判定是否存在不动点． 显然在时有意义，且时，．故，又因为当时正、余弦函数均为连续函数．所以也连续，由布劳韦尔不动点理论可知必有不动点，即方程（*）必有解． 对于初等数学中的一类特殊的方程，下面我们在实数范围内，研究不动点与这类方程的求解问题． 定理1．若函数的定义域为，值域为，且，则在上，函数的不动点也是其n次选代函数的不动点，即方程的解也是方程的解． 证明：（1）当时，设函数的不动点为， 即． 因为，所以． 所以成立． （2）设当时，命题成立．即．则 当时，． 所以当时命题也成立， 综上，可知命题对均成立． 例1．求方程的实数根． 解： 所以 （*） 令，显然， 所以的不动点就是的不动点． 即，的实根就是方程（*）的实根． 解得． 所以原方程的实根为． 例2．解方程 解：令，则 设，则原方程为，因为的解为． 所以的解亦为． 所以原方程的解为． 例3．解方程 解：令，则原方程为， 对于，易知． 可知的不动点就是的不动点． 所以解方程，得；（舍去） 因而原方程的解为． 例4．解方程 解：原方程可化为 令，故原方程为 由，解得 所以 ． 因为， 所以或． 故原方程有四个实根，即