4.1.1 实数指数幂及其运算 （学案）- 【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 庄7日：“一尺之桓F取其半万世不竭 4.1.1 实数指数幂及其运算 明学习目标 知结构体系 根式的概念 课标 1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质. 根式 要求 2.根据具体实例，了解指数幂的拓展过程. 根式的性质 3.掌握实数指数幂的运算法则。 指数 整数指数幂 有理数指数幂 实数 分数指数幂 重点 重点：实数指数幂的运算及其法则. 无理数指数幂 指数幂 难点 难点：分数指数幂与根式的化简与计算. 实数指数幂的运算法则 落实必备知识 (一)n次方根与根式 (2)性质：①(a)”= (n>1,且n∈N): 1.n次方根 ②Va" ,n为奇数， 图 给定 的正整数n和实数a,如果存在实 ,n为偶数. 义 数x,使得 ,则x称为a的n次方根 微点注解/书你型清 对根式a的性质的理解 (1)0的任意正整数次方根均为0，记为0= (1)n>1,且n∈N+. (2)当n为大于1的奇数时，Va对任意的实数a都 (2)正数a的偶数次方根有个，它们互为相反 有意义，它表示Q在实数范围内有唯一的一个n次方 数，其中 称为a的n次算术根，记为Wa, 根，(Va)”=a. 性 记为一a;负数的偶数次方根在实数范 (3)当n为大于1的偶数时，Va只有当a≥0时才有 质 围内 ,即当a<0且n为时，Wa在实数 意义，Va(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根， 范围内没有意义. a的另一个n次方根是一a,从而有（士Va)”=a. (3)任意实数的奇数次方根都有且只有 即时小练帮你学置 记为a.而且正数的奇数次方根是一个 38 负数的奇数次方根是一个 1.求值：一27 2.根式 :2.当x<0时，x++证 (1)定义：当a有意义的时候，Va称为根式，；3.若√(5-x)(x-3)严=(x-3)W5-x,则x的取值范 n称为 ,a称为 围是 铺了1 B版数学 必修第二册XINKECHENG XUEAN (二)分数指数幂 (三)实数指数幂 正分数 对于一般的正分数”(”为既约分数 1.有理数指数幂的运算法则 n ,规定 指数幂 (1)a'a'= (a>0,s,t∈Q). (2)(a)'= (a>0,s,t∈Q). 负分数 若s是正分数，a有意义且a≠0时，规定a (3)(ab)°= (a>0,b>0,s∈Q). 指数幂 0的分数0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂 微点注解帮你即清 指数幂 没有意义 (1)有理数指数幂除上述运算法则外，还有如下 微点注解帮你理清 法则： ①a'÷a=a'-'(a>0,s,t∈Q)； (1)分数指数暴是指数概念的又一推广，分数指数 幂a导不可理解为m个a相乘，它是根式的一种新的写 ②（后）广-若a>0,6>0eQ 2 (2)有理数指数暴的几个常见结论：①当a>0时， 法.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意 a>0;②当a≠0时，a°=1，而当a=0时，a°无意义； 义的量，只是形式不同而已 ③若a=a(a>0,且a≠1)，则t=s. (2)指数的概念扩充到有理数指数幂后，当a≤0 (3)有理数指数幂的运算法则均在有意义的条件下 时，“有时有意义，有时无意义.为了保证在取任何 才能成立，否则，不一定成立. 有理数时，a”都有意义，所以规定a>0. 2.无理数指数幂 (3)注意幂指数不能随意约分， (4)负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正 一般地，无理数指数幂a(a>0,a为无理数) 数，而不是负数 是一个确定的 ·有理数指数幂的运算法则 即时小练/帮你学通 同样适用于无理数指数幂， 1.(m-n)严(m>n)表示为分数指数幂的形式为 即时小练石你学通 1.已知x>0,y>0,则(xEy5)6= 2.填表：用分数指数幂或根式的形式表示下列各式(a>0). 2.设a>0,则a 三表示成分数指数幂是 a"va a i a·a 3计算：(2) +8+(2021)°= [四层]学习内容 强化关键能力 [题点一] [听课记录] 利用根式的性质化简与求值 [典例]化简： (1)√5+26-√6-42+√7-43： (2)V(x-4)5; (3)(/a-1)2+√1-a)7+(1-a) -[在微“点”]- 通报乡下的数化为完金平才式存币这， )题主宽报指美数为隅数有的育光 2 XINKECHENG XUEAN第四章指数函数、对数函数与幂函数 …[方法技巧] …[方法技巧] 懒区容面之 1.根式化简、求值的思路 根式与分数指数幂互化的规律 首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后 1)根指数化为 分数指数的分母，被开方数 运用根式的性质进行化简. 2.正确区分(a)”与”a” (式)的指数、北为 分数指数的分子. (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指 :数幂的形式，