4.4 幂函数 （学案）- 【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

XINKECHENG XUEAN 第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.4幂函数 明学习目标 知结构体系 1.通过具体实例，结合y=x,y=x2,y=x3,y=x y 课标 幂函数的概念 要求 x的图象，理解它们的变化规律. 幂函数 幂函数的图象 定义域 2.了解幂函数. 值域 幂函数的性质 单调性 重点 重点：幂函数的图象和性质 奇偶性 难点 难点：幂函数图象与性质的应用： 〔妇灯学可内数1 落实必备知识 ■（一）幂函数的概念 2.五个常见幂函数的性质 一般地，函数 称为幂函数，其中α 幂函数y=x y=x2 y=x V=T2 y=x-1 为常数 微点注解/帮你旦清 图象 1012 幂函数的特征 (1)x°的系数为1；(2)x°的底数是自变量；(3)x° 的指数为常数.只有同时满足这三个条件的函数才是： 定义域 R 及 R 0,+∞) {xx≠0》 幂函数 即时小练/帮你学通 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {yy≠0}》 1.已知f(x)=(m十1)xm2+2是幂函数，则m= 奇偶性 奇 偶 奇 奇 A.2 B.1 C.3 D.0 2.有下列函数： x∈(0， x∈(0， ⑤y= ①3=3x:®y=7-1:③y=-10y=: +o∞)时， +o∞)时， 单调 单调性 单调 单调 x;⑥y=2. 递增 x∈(-oo, 递增 递增 x∈（一oo, 其中，是幂函数的有 (填序号) 0)时， 0)时， ■（二）幂函数的图象与性质 1.五个常见幂函数的图象 定点 当。=1,23,2-1时，我们得到五个幂函 微点注解帮你理清 数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x1,通过描 一般幂函数的性质 点作图得到五个幂函数在同一平面直角坐标系 (1)所有的幂函数在(0，十∞)上都有定义，并且图 中的图象，如图所示. 象都过点(1,1). (2)α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间 [0,十o∞)上是增函数. (3)α<0时，幂函数在区间(0，十o∞)上是减函数， 且在第一象限内：当x从右边趋向原点时，图象在y轴 右方且无限地逼近y轴正半轴，当x趋于十∞时，图象 在x轴上方且无限地逼近x轴正半轴， 了31 │B版数学必修第二册│xiNKECHENG=XUEAN （4)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或⋮2.给出下列说法，其中正确的结论为（） 不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限。A.幂函数y=x-'与幂函数y=x的图象均过(1，1)， （5)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点。除（0，0)点 （1，1)，(0，0)，(-1，1)，(-1，-1)外，其他任何一点都 不是两个幂函数的公共点。B.当a=1，2，3，2，-1时，幂函数y=x^”的图象均经 ——即时小练/帮你学通——过第一、三象限 1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，+∞)上单调C.当a=1，2，3，2时，幂函数在[0，+∞)上为增函数 递减的是（） A.y=x-^2B.y=x^1-C.y=x^2D.y=xD.a=-1时的幂函数y=x^在其定义域内是减函数 ta与内容2强化关键能力 ——[题点—]—⋮①f(x）>g(x)；②f(x)=g(x)；③f(x)< ____幂函数的概念及应用g(x)? （2）如图所示，幂函数y=_化_ [典例]（1)已知f(x)=ax^a++-b+1是幂m∈N)的图象关于y轴对 函数。则a+b等于_（「称，且与x轴、y轴均无交点，求 A.2点在数“点”… 那住另法数的指数、B.1此函数的解析式。 和数与点数的猜征求[D.0[听课记录] （2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)= 16.则f(-4)的值等于 …[方法技巧] 判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是 不是y=x”(α为常数)的形式，即函数的解析式是不是 一个变量的幂的形式。反过来，若一个函数是幂函数， 则该函数也必符合y=x“(α为常数)的形式，这是我们 解决某些问题的一个隐含条件．… [对点训练] 1.已知幂函数f(x)=x^∘的图象过点(2，2)，则 f(4)=______． 2.若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=3f(2)，[方法技巧] 则f(_2)的值等于_—．1.作幂函数图象的原则和方法 (1)原则：作幂函数的图象要联系函数的定义域、 [题点二]—⋮⋮值域、单调性、奇偶性等． 幂函数的图象及应用_（2)方法：先作出函数在第一象限的图象，然后根 据函数的奇偶性就可以作幂函数在定义域上的完整 [典例]（1)点(\sqrt{2}，2)在幂函数f(x)的图象2.求幂函数的解析式，首先要看形式，然后利用待 上，点(-2，4)在幂函数g(x)的图象上，当x为定系数法求解，或者结合图象与已知条件确定参数的 ⋮值或取值范围，总之需要灵活掌握求解方法，把握其关