4.4 幂函数-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

4.4幂 学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解 析式 2.结合幂函数y=x,y=x,y=x2,y=x3, y=x2的图象，掌握幂函数的性质. 3.能利用幂函数的单调性比较幂值的 大小 要点精析 川要点1幂函数的概念 一般地，函数y=x称为幂函数，其中α 是常数 思考幂函数和指数函数的区别是 什么？ 例1已知函数f(x)=(m2-m-1)xm3是幂 函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)是增函 数，求f(x)的解析式. 分析判断函数是幂函数的依据： (1)指数为常数；(2)底数为自变量； (3)系数为1. 第四章指数函数、对数函数与幂函数。 函 数 B变式训练① 已知幂函数f(x)=(n+2n-2)x-3m(ne Z)在(0，+∞)上是减函数，则n的值为 () A.-3 B.1 C.-1 D.1和-3 川要点2幂函数的图象及应用 五类常见幂函数的图象： 思考你能通过上述图象，总结幂函 数的图象在第一象限内直线x=1的右侧有 什么规律吗？ 例2若点(V2,2)在幂函数f(x)的 图象上，点-2，在幂函数gx)的图象 上，则当x为何值时： (1)fx)=g(x); (2)fx)<g(x). 学(25 高中数学必修第二册人教B版 分析注意本题中对f(x)>g(x),f(x)= g(x),f(x)<g(x)的几何解释.这种几何解 释帮助我们从图象的角度解读不等式方程」 是以后常用的方法 反思感悟要善于运用函数的性质， 如定义域、值域、单调性、奇偶性等，熟 练作图，数形结合 变式训练2 已知ae-2,-1,7,2,1,2,3 若幂函数f(x)=x“为奇函数，且在(0，+∞) 上单调递减，则a= 川要点3幂函数性质的应用 函数 质 Y=x 1y=x2 y=x3 y=x-1 义 农 个 [0,+o》 xlx≠0) 域 值 R [0,+∞) R [0,+∞) yy≠01 格 偶 非奇 奇 函 非偶 函 性 数 数 函数 函数 数 单 在[0，+∞) 在(0，+) 单调 上单调递增 单调 单调 上单调递减 性 递增 在(-∞，0】 递增 递增 在(-0,0) 上单调递减 上单调递减 26 思考y=x2为什么是非奇非偶函数呢？ 例3比较下列各组数的大小： (1)33与3.13； (2)0.7.8与0.87. 分析比较幂值大小，若指数相同， 底数不同，则考虑利用幂函数来比较大小； 若指数不同，底数相同，则考虑利用指数 函数来比较大小；若指数与底数都不同， 则考虑引入中间值比较 反思感悟在比较大小选择中间量时， 要注意中间量选取原则：一是能与已知数 中任意一个比较大小，二是中间量应介于 这两个数之间 B变式训练3 设a=V2,b=37,c=e方，则a,b,c 的大小关系是() A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b 数学文化 1607年，利玛窦和徐光启合译欧几里 得的《几何原本》，在译本中徐光启重新使 用了“幂”字.他说：“自乘之数曰幂.”这 是第一次给幂这个概念下定义.此外，幂的 概念的形成还受到国外的影响.1591年，法 第四章指数函数、对数函数与幂函数。 国数学家韦达的代数名著《分析方法入门》 中曾经用拉丁文字表达“幂”，以后译成英 文相当于“power'”·1935年，我国出版 《数学名词》，把“power”译成“幂”，这个 术语从此才算确定下来. 例（多选题）我国著名的数学家华罗 庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难 入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休， 在数学学习和研究中，常用函数的图象来研 究函数的性质.下列函数中，在(0，+∞) 上单调递增且图象关于y轴对称的有（) A.f(x)=x B.f(x)=x2 C.y=x2 D.f(x)=lxl 学(27N高中数学必修第二册人教B版 y=logx 1 y= 0 变式训练4答图 例4解：(1)设y=fx)=n(Vx+l+x),∴yeR,e= x+V+T,.(e-x)2=(V+T)2,∴.e2-1=2ex,∴x= 是，，) f()的定义坡为R,且∫户)(-)=+ ee-0,f(x)是奇函数。 (2)由(x)gx)=l,得ee.ee=l,e2-e2 2 2 4.设=e产，显然>0，得1-1=4，-41-1=0，解得= 2±V5(负舍)，即e=2+V5,2x=n(2+V5),x= h2+V5) 数学文化 解：易得f(x)=2,对于①， g[fx)]=(2)=(2)=x2≠2，故①不是函数f代x)= log的“Inverse'”函数. 对于②，[fx)]=2=2(x),故②是函数fx) =logx的“Inverse”函数， ●m4.4幂函数 要点精析 例1解：根据幂函数的定义，得m2-m-1=1,解得m=2 或m=-1. 当m=2时，f八x)=x,在(0，+∞)上是增函数，符合 要求；当m=-1时，f(x)=x3,在(0，+∞)上是减函数，不 符合要求.∴.f代x)的解析式为fx)=x. 变式训练1 B【解析】函数f(x)是幂函数，n2+2n-2=1, .n=-3或n=1. 当n=-3时，f(x)=x8在(0，+∞）上是增函数，不 合题意. 当n=1时，f(x)=x2在(0，+∞)上是减函数，成 34 立.故选B. 例2解：设fx)=x“,点(V2,2)在幂函数f代x)的图 象上，∴将(V2,2)代入f)=中，得2=(V2,解 得a=2,则f代x)=x2.同理可求得g(x)=x2 在同一平面直角坐标系中作出函数fx)=x2和g(x)= x2的图象，如图所示： f(x)=x2 g(x)=x g(x）=x2 -10 1 例2答图 观察图象可得： (1)当x=1或=-1时，fx)=g(x)； (2)当-1<<1且x≠0时，fx)<g(x). 变式训练2 -1【解析】f(x)=x为奇函数，∴a可取-1,1,3. 又fx)=在(0，+∞)上单调递减，.a<0,故a=-1. 例3解：(1)函数y=x受在(0，+∞)上为减函数. 3<3.1,32>3.1 (2)y=x8在[0，+∞)上是增函数，0.7<0.8， .0.70.8<0.808 又y=0.8在R上是减函数，0.7<0.8,0.88<0.87 .0.7a8<0.808<0.87,即0.708<0.87 变式训练3 D【解析】(e)-e2,(V2)-8,(33)-9. ·y=x6在(0，+0)上为增函数，且e2<8<9, .0<e<V2<3,即c<a<b.故选D. 数学文化 BD【解析】fx)=x3的定义域为R,在(0，+∞)上 显然单调递增，但f(-x)=-x≠f(x),即f(x)=x不是偶 函数，其图象不关于y轴对称，A排除； f孔x)=x2的定义域为R,在(0，+∞)上显然单调递增， 且f-x)=(-x)2=x2f(x),f(x)=x2是偶函数，图象关于 y轴对称，即B正确； y=x2的定义域为(-0,0)U(0,+∞)，在(0，+0) 上显然单调递减，C排除； f(x)=x的定义域为R,在(0，+∞)上显然单调递 增，且f-x)=-x=f(x),fx)=lx是偶函数，图象关于 y轴对称，即D正确.故选BD >m4.5增长速度的比较 要点精析 例1>，>，【解析】由题图可知，=s）-(】-k, tu-to 0=)）--kB,s=s）-s=k, t2- t3-t2 .kgo>kan>kov3>> 变式训练1 A【解析】由题意结合函数的解析式有： k=Kxo+At)-fxa)-(xotAx)-(xa)-2vo+Av. △x △x k-f(xo)-f(xAr)-(xa)-(x-Ar)-2vAv, Ax △x 则k1-k2=2△x. △>0，k>k2.故选A 例2解：最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函 数关系式是f4(t)=2. 理由：显然四个函数中，指数函数是增长速度最快 的，故最终跑在最前面的人跑过的路程与时间的函数关 系式是ft)=2 变式训练2 BD【解析】如图，对于y=x2,=2,从负无穷开 始，y1大于2，然后y2大于y1,再然后y再次大于， 最后y2大于y1,再也追不上，故随着x的逐渐增 大，？的增长速度越来越快于y1,A错误，B,D正确； y=x 2=2 Y=x 10 变式训练2答图 对于y=x,y=x,由于y=x的增长速度是不变的 当x∈(0,1)时，y大于，当x∈(1，+∞)时，1大于 y3,y再也追不上y,少的增长速度有时快于，C错误. 故选BD. 参考答案。 数学文化 B【解析】2020至2021年R&D的经费支出的增长 速度是14.6%-10.2%=4.4%，是最快的，故A正确； 2023至2024年R&D的经费支出增加量为36130- 33357=2773(亿元)，2021至2020年R&D的经费支出 增加量为27956-24393=3563（亿元），3563>2773， ∴.2023至2024年R&D的经费支出增加量不是五年中最 多，故B错误； 从条形图可以看出2020至2024年R&D的经费支出 逐年增加，故C正确： 从折线图可知，2020至2024年R&D的经费支出的 增长速度先递增后递减，故D正确.故选B. "4.6函数的应用（二)& 4.7数学建模活动：生长规律的描述 要点精析 例1C【解析】设经过n次过滤，产品达到市场要 求，则×（号广s70即号广≤0由s号s -1g20,即n(1g2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥+le2≈74. 1g3-1g2 故选C. 变式训练1 144=e, A【解析】由题意得 48=e26, 则e=1 31 当x=40℃时，y=en=e2yPe=(兮）×4=16 (h).故选A 例2C【解析】当=1时，=adog3=-3440,=3440 10g(+2).当=7时，y=3440l0g96880,即2024年冬有越 冬白鹤6880只.故选C. 变式训练2 k C【解析】1t)卢1+er可=0.95k, 整理可得e23-3》-19, 两边取自然对数得0.23(t-53)=ln19≈3， 解得t≈66.故选C 例3D【解析】设每月的平均增长率为x,1月产量 为a,则a(1+x)"=ma,1+x=Vm,即x=Vm-1.故 选D. 35