高考原创模拟（四）-【直击双1流·清北卷】2023高考文科数学原创模拟卷

则 g′(x) = - 3 x2 - a - 3 x = - ax 2 + 3x + 3 x2 , 若 a ≥ 0,x > 2,易知 ax2 + 3x + 3 > 0, 故 x ∈ (2, + ∞ ) 时,g′(x) < 0, 所以 g(x) 在(2, + ∞ ) 上单调递减, (2 分) 所以 g(x) < g(2) = 1 2 - a - 3ln 2 ≤ 1 2 - ln 8 < 0, 故 x ∈ (2, + ∞ ) 时,f ′(x) < 0, (4 分) 所以 f(x) 在(2, + ∞ ) 上单调递减. (5 分) (2) 当 a = 1 时,证明 f(x) ≤ x3 ,即证明3ln x + x + 1 ex ≤ x3 ,即证明 3ln x + x + 1 ≤ x3 ex = e3ln x+x . (7 分) 设 3ln x + x = t,t ∈ R, 则不等式转化为 t + 1 ≤ et,即 et - t - 1 ≥ 0. (9 分) 设 h( t) = et - t - 1, 则 h′( t) = et - 1, 所以 t ∈ ( - ∞ ,0) 时,h′( t) < 0,h( t) 单调递减,t ∈ (0, + ∞ ) 时,h′( t) > 0,h( t) 单调递增, 所以 h( t) ≥ h(0) = 0,即 et - t - 1 ≥ 0, (11 分) 故 3ln x + x + 1 ≤ e3ln x+x, 所以 3ln x + x + 1 ex ≤ x3 . (12 分) 22. 【命题意图】 本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数 方程与普通方程的互化及圆与圆的位置关系,考查逻辑 推理、数学运算素养. 【解题思路】(1) 由 x = t - 1, y = 4 - t2{ 得(x + 1) 2 + y2 = 4, (2 分) 由 y = 4 - t2 得 0 ≤ y ≤ 2, 所以曲线C1 的普通方程为(x + 1) 2 + y2 = 4(0 ≤ y≤ 2) . (3 分) 因为 ρ2 = x2 + y2 ,ρcos θ = x, 所以 ρ2 - 2aρcos θ + a2 - 1 = x2 + y2 - 2ax + a2 - 1 = 0, 所以曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 + y2 - 2ax + a2 - 1 = 0,即(x - a) 2 + y2 = 1. (5 分) (2) 由(1) 知曲线 C1 表示以点 O1( - 1,0) 为圆心,半径为 2 的上半圆,曲线 C2 表示以 O2(a,0) 为圆心,半径为 1 的圆. 当 a > 2 或 a < - 4时,易知 | O1O2 | = | a + 1 | > 2 + 1 = 3, 所以曲线 C1 与曲线 C2 相离, 故曲线 C1 与 C2 没有公共点; (8 分) 当 - 2 < a < 0 时,易知 | O1O2 | = | a + 1 | < 2 - 1 = 1, 所以曲线 C1 与曲线 C2 内含, 故曲线 C1 与 C2 没有公共点. 综上, 当曲线 C1 与 C2 没有公共点时,a 的取值范围是 ( - ∞ , - 4) ∪ ( - 2,0) ∪ (2, + ∞ ). (10 分) 23. 【命题意图】 本题考查利用不等式求最值及柯西不等式 的应用,考查逻辑推理、数学运算素养. 【解题思路】(1) 因为 a > 0,b > 0,c > 0,且 abc = 1 8 , 所以 a2 + 2bc = a2 + bc + bc≥ 3 3 a2b2c2 = 3 × 1 4 = 3 4 , 当且仅当 a2 = bc 时等号成立, (3 分) 所以 a2 + 2bc 的最小值为 3 4 . (4 分) (2) 令 x = 1 a ,y = 1 b ,z = 1 c ,则 x > 0,y > 0,z > 0,且 xyz = 8, 所以 1 a2( 1 b + 1 c ) + 1 b2( 1 c + 1 a ) + 1 c2( 1 a + 1 b ) = x2 y + z + y 2 z + x + z 2 x + y . (5 分) 由柯西不等式得[(y + z) + ( z + x) + (x + y)]( x 2 y + z + y2 z + x + z 2 x + y ) ≥ ( y + z· x y + z + z + x· y z + x + x + y· z x + y ) 2 = (x + y + z) 2 , (7 分) 即 2(x + y + z)( x 2 y + z + y 2 z + x + z 2 x + y ) ≥(x + y + z) 2 , 所以 x2 y + z +