高考原创模拟（三）-【直击双1流·清北卷】2023高考理科数学原创模拟卷

22. 【命题意图】 本题考查参数方程与普通方程、直角坐标方 程与极坐标方程的互化,极径的几何意义,考查逻辑推 理、直观想象、数学运算素养. 【解题思路】(1) 由 x = 2 cos α, y = sin α{ (α 为参数),消去参数 α,得曲线 C 的普通方程为 x 2 2 + y2 = 1,即 x2 + 2y2 = 2. (2 分) ∵ x = ρcos θ,y = ρsin θ, ∴ 曲线 C的极坐标方程为 ρ2 cos2θ + 2ρ2sin2θ = 2,即 ρ = 2 1 +sin2θ . (5 分) (2)∵ A( ρ 1 ,φ) ,B( ρ 2 ,φ + π 2 ) ,D( ρ 3 ,φ + π) 都在曲 线 C 上, ∴ ρ1 = ρ3 = 2 1 +sin2φ ,ρ2 = 2 1 +sin2(φ + π 2 ) = 2 1 +cos2φ . (7 分) 易知 AD ⊥ OB,O 为坐标原点, ∴ △ABD的面积 S = 1 2 | AD |·| OB | = 1 2 × 2ρ1 × ρ2 = 4 (1 +sin2φ)(1 +cos2φ) = 2 1 2 + 1 4 sin22φ , ∴ 当 sin22φ = 0 时,△ABD 的面积取得最大值 2 , 当 sin22φ = 1时,△ABD的面积取得最小值2 1 2 + 1 4 = 4 3 , (9 分) ∴ △ABD 面积的取值范围为[ 4 3 , 2 ] . (10 分) 23. 【命题意图】 本题考查绝对值三角不等式、基本不等式的 应用,考查逻辑推理、数学运算素养. 【解题思路】(1)∵ f(x) = 2 | x + 1 | -| 2x + 1 | ≤| 2x + 2 - 2x - 1 | = 1,当 x ≥- 1 2 时等号成立, ∴ m = 1. (4 分) (2) 要证 b + c a + a + c b + a + b c ≥ 6, 即证 a + b + c a + a + b + c b + a + b + c c ≥ 9, (6 分) 又 a + b + c = 1, ∴ 要证原不等式即证 1 a + 1 b + 1 c ≥ 9. (7 分) ∵ a > 0,b > 0,c > 0, ∴ 1 a + 1 b + 1 c = (a + b + c)( 1 a + 1 b + 1 c ) = b a + a c + b c + a b + c a + c b + 3 ≥ 2 b a · a b + 2 b c · c b + 2 c a · a c + 3 = 9,当且仅当 a = b = c = 1 3 时等号成立, ∴ 1 a + 1 b + 1 c ≥ 9, (9 分) 故 b + c a + a + c b + a + b c ≥ 6. (10 分) 高考原创模拟卷(三) 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C A D B D A C C D C A 1. 【参考答案】B 【命题意图】 本题考查集合的交集运算及特殊角的三角函 数值,考查数学运算、逻辑推理素养. 【解题思路】 因为 A = { π 6 ,5π 6 ,2π 3 ,5π 3 },B = {x | cos x > 0},cos π 6 = 3 2 > 0,cos 5π 6 = - 3 2 < 0,cos 2π 3 = - 1 2 < 0,cos 5π 3 = 1 2 > 0,所以 A ∩ B = π 6 ,5π 3{ } . 2. 【参考答案】C 【命题意图】 本题考查平面向量的数量积及向量模长的求 解,考查逻辑推理、数学运算素养. 【解题思路】 因为 a = ( - 1, - 3),所以a2 = ( - 1) 2 + ( - 3) 2 = 10. 因为 a·(a - b) =a2 - a·b = 4,所以 a·b = 6. 又 b2 = 4, 所以 | a + b | = a2 + 2a·b +b2 = 10 + 12 + 4 = 26 . 3. 【参考答案】A 【命题意图】 本题考查共轭复数的概念及复数的四则运 算,考查数学运算素养. 【解题思路】 由复数 z 为纯虚数,可设 z = bi(b ∈ R且 b ≠ 0),所以3 + z 2 - z = 3 + bi 2 - bi = (3 + bi)(2 + bi) 4 + b2 = 6 - b 2 4 + b2 + 5b 4 + b2 i. 因为3 + z 2 - z 是纯虚数,所以 6 - b2 4 + b2 = 0, 5b 4 + b2 ≠ 0, ì î í ï ï ïï 解得 b2 = 6,所以 zz = bi × ( - bi) = b2 = 6. 4.