高考原创模拟（二）-【直击双1流·清北卷】2023高考理科数学原创模拟卷

所以 f(x) 的极大值为 f( - 1 2 ) = - ln 2 - 1 4 a < 0, 因为 f(0) = - 1 < 0, 所以 f(x) 在( - 1,0) 上没有零点. (10 分) 若 a = 2,则 f ′(x) = (2x + 1) 2 1 + x ≥ 0, 所以 f(x) 在( - 1,0) 上单调递增, 因为 f(0) = - 1 < 0, 所以 f(x) 在( - 1,0) 上没有零点. 若 a > 2,则 - 1 < - 1 + 1 a < - 1 2 , 故当 x∈ ( - 1, - 1 + 1 a ) ∪ ( - 1 2 ,0) 时,f ′(x) > 0,当 x∈ ( - 1 + 1 a , - 1 2 ) 时,f ′(x) < 0, 所以 f(x) 在( - 1, - 1 + 1 a ) 和( - 1 2 ,0) 上单调递增,在 ( - 1 + 1 a , - 1 2 ) 上单调递减, 所以 f(x) 的极大值为 f( - 1 + 1 a ) = - ln a + a( - 1 + 1 a ) 2 + (a - 2)( - 1 + 1 a ) - 1 = - ln a - 1 a < 0, 又 f(0) = - 1 < 0, 所以 f(x) 在( - 1,0) 上没有零点. (11 分) 综上,实数 a 的取值范围为( - ∞ , - 4ln 2) . (12 分) 22. 【命题意图】 本题考查双曲线的参数方程、参数方程与普 通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查数学抽 象、数学运算素养. 【解 题 思 路 】(1) 因 为 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 x = 2 2 3t + 1 3t( ) , y = 1 2 3t - 1 3t( ) ì î í ï ï ï ï ( t 为参数), 所以 2x2 = 32t + 1 32t + 2,4y2 = 32t + 1 32t - 2, 所以 2x2 - 4y2 = 4,即 x 2 2 - y2 = 1. (2 分) 又因为 x = 2 2 3t + 1 3t( ) ≥ 2 , 所以曲线 C 的普通方程为 x 2 2 - y2 = 1(x ≥ 2 ) . (4 分) (2) 因为直线 l的极坐标方程为mρcos θ + ρsin θ - 1 = 0, x = ρcos θ,y = ρsin θ, 所以直线 l 的直角坐标方程为 mx + y - 1 = 0. (6 分) 由 mx + y - 1 = 0, x2 2 - y2 = 1{ 得(1 - 2m2)x2 + 4mx - 4 = 0. (7 分) 因为直线 l 与曲线 C 有两个交点, 所以 1 - 2m2 ≠ 0, Δ = 16m2 + 16(1 - 2m2 ) > 0, - 4m 1 - 2m2 > 2 2 , - 4 1 - 2m2 > 2, ì î í ï ï ï ï ï ï 解得 2 2 < m < 1. 故 m 的取值范围为 2 2 ,1( ) . (10 分) 23. 【命题意图】 本题考查均值不等式及不等式的证明,考查 逻辑推理、数学运算素养. 【解题思路】(1) 因为 a,b,c 均为正数,且 a + b + c = 4, 所以 a + b + c ≥ 3 3 abc ,即 abc ≤ 4 3( ) 3 = 64 27 ,当且仅 当 a = b = c = 4 3 时等号成立, (3 分) 所以 abc ≤ 8 3 9 . (5 分) (2) 因为 a,b,c 均为正数, 所以 ab c + bc a ≥ 2 ab c · bc a = 2b,当且仅当 a = c时等号 成立, ab c + ca b ≥ 2 ab c · ca b = 2a,当且仅当 b = c时等号成立, bc a + ca b ≥ 2 bc a · ca b = 2c,当且仅当 a = b时等号成立. (7 分) 所以 2 ab c + bc a + ca b( ) ≥ 2(a + b + c), (9 分) 所以 ab c + bc a + ca b ≥ a + b + c = 4,当且仅当 a = b = c = 4 3 时等号成立. (10 分) 高考原创模拟卷(二) 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D C B C C A B B B C 1. 【参考答案】C 【命题意图】 本题考查集合的交集运算, 考查数学运算 素养. 【解题思路】 由 A = {2,3,4,5,6},B = {x | x2 - 8x + 15 = 0} = {3,5} 得 A ∩ B = {3,5},又 A ∩ B = {3,a}