高考原创模拟（五）-【直击双1流·清北卷】2023高考理科数学原创模拟卷

g(3a2 + a) = (a + 3a2 ) 2 - a(a + 3a2 ) - 3a2 ln(a + 3a2 ) > (a + 3a2 ) 2 - a(a + 3a2 ) - 3a2(a + 3a2 ) = (a + 3a2 )(a + 3a2 - a - 3a2 ) = 0, 所以由函数零点存在定理可知,当 a > 2 3 e 1 4 时,∃x3 ∈ 1 e , 3 2 a( ) ,使 g(x3 ) = 0, ∃x4 ∈ 3 2 a,3a2 + a( ) ,使 g(x4 ) = 0, 故当 a > 2 3 e 1 4 时,满足题意. 综 上, 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ( - ∞ , - e 2 3 ) ∪ 2 3 e 1 4 , + ∞( ) . (12 分) 22. 【命题意图】 本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程 与直角坐标方程的互化及参数方程的应用,考查逻辑推 理、数学运算素养. 【解题思路】(1) 由 x = - m + 2t, y = 2m - 2t{ ( t 为参数) 得曲线 C1 的普通方程为 x + y = m. (2 分) 由 ρ = 2 1 + sin2θ 得 ρ2(1 + sin2θ) = 2, 将 x = ρcos θ, y = ρsin θ{ 代入上式,得x 2 + 2y2 = 2,即 x 2 2 +y2 = 1, (4 分) 所以曲线 C2 的参数方程为 x = 2 cos θ, y = sin θ{ (θ 为参数) . (5 分) (2) 设C1 与C2 的公共点的坐标为( 2 cos θ,sin θ), 则 m = 2 cos θ + sin θ = 3 sin(θ + φ),其中 sin φ = 2 3 , cos φ = 1 3 . (8 分) 因为 - 1 ≤ sin(θ + φ) ≤ 1, 所以 m 的取值范围为[ - 3 , 3 ] . (10 分) 23. 【命题意图】 本题考查绝对值不等式与基本不等式,考查 逻辑推理、数学运算素养. 【解题思路】(1) 因为 f(x) = | 1 - x | +| x + 3 | ≥| (1 - x) + (x + 3) | = 4,当且仅当 - 3 ≤ x ≤ 1 时等号成立, 所以 t = 4. (2 分) (2) 因为 a + b + c = t,t = 4, 所以 a + b + c = 4, 所以 1 a2 = (a + b + c) 2 16a2 = 1 16 1 + b 2 a2 + c 2 a2 + 2b a + 2c a + 2bc a2( ) , 1 b2 = (a + b + c) 2 16b2 = 1 16 1 + a 2 b2 + c 2 b2 + 2a b + 2c b + 2ac b2( ) , 1 c2 = (a + b + c) 2 16c2 = 1 16 1 + b 2 c2 + a 2 c2 + 2a c + 2b c + 2ab c2( ) , (5 分) 所以 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 = + 1 16 (3 + b 2 a2 + a 2 b2 + c 2 a2 + a 2 c2 + c 2 b2 + b2 c2 + 2b a + 2a b + 2c a + 2a c + 2c b + 2b c + 2bc a2 + 2ac b2 + 2ab c2 ) . 因为 b2 a2 + a 2 b2 ≥ 2, 当且仅当 b 2 a2 = a 2 b2 , 即 a = b 时等 号成立, c2 a2 + a 2 c2 ≥ 2,当且仅当 c 2 a2 = a 2 c2 ,即 a = c 时等号成立, c2 b2 + b 2 c2 ≥ 2,当且仅当 c 2 b2 = b 2 c2 ,即 b = c 时等号成立, (7 分) 2b a + 2a b + 2c a + 2a c + 2c b + 2b c + 2bc a2 + 2ac b2 + 2ab c2 ≥ 2 2b a ·2a b + 2 2c a ·2a c + 2 2c b ·2b c + 3 3 2bc a2 ·2ac b2 ·2ab c2 = 18, 当且仅当 a = b = c 时等号 成立, (9 分) 所以 1 a2 + 1 b2 + 1 c2 ≥ 1 16 × (3 + 3 × 2 + 18) = 27 16 . (10 分) 高考原创模拟卷(五) 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A B B C D C B C C A 1. 【参考答案】D 【命题意图】 本题考查不等式的求解及集合的运算,考查 数学运算素养. 【解题思路】 因