高考原创模拟（四）-【直击双1流·清北卷】2023高考理科数学原创模拟卷

【解题思路】(1) 由 x = t - 1, y = 4 - t2{ 得(x + 1) 2 + y2 = 4, (2 分) 由 y = 4 - t2 得 0 ≤ y ≤ 2, 所以曲线 C1 的普通方程为(x + 1)2 + y2 = 4(0 ≤ y ≤ 2). (3 分) 因为 ρ2 = x2 + y2 ,ρcos θ = x, 所以 ρ2 - 2aρcos θ + a2 - 1 = x2 + y2 - 2ax + a2 - 1 = 0, 所以曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 + y2 - 2ax + a2 - 1 = 0,即(x - a) 2 + y2 = 1. (5 分) (2) 由(1) 知曲线 C1 表示以点 O1( - 1,0) 为圆心,半径为 2 的上半圆,曲线 C2 表示以 O2(a,0) 为圆心,半径为 1 的圆. 当 a > 2 或 a < - 4时,易知 | O1O2 | = | a + 1 | > 2 + 1 = 3, 所以曲线 C1 与曲线 C2 相离, 故曲线 C1 与 C2 没有公共点; (8 分) 当 - 2 < a < 0 时,易知 | O1O2 | = | a + 1 | < 2 - 1 = 1, 所以曲线 C1 与曲线 C2 内含, 故曲线 C1 与 C2 没有公共点. 综上,当曲线 C1 与 C2 没有公共点时,a 的取值范围是 ( - ∞ , - 4) ∪ ( - 2,0) ∪ (2, + ∞ ) . (10 分) 23. 【命题意图】 本题考查利用不等式求最值及柯西不等式 的应用,考查逻辑推理、数学运算素养. 【解题思路】(1) 因为 a > 0,b > 0,c > 0,且 abc = 1 8 , 所以 a2 + 2bc = a2 + bc + bc≥ 3 3 a2b2c2 = 3 × 1 4 = 3 4 , 当且仅当 a2 = bc 时等号成立, (3 分) 所以 a2 + 2bc 的最小值为 3 4 . (4 分) (2) 令 x = 1 a ,y = 1 b ,z = 1 c ,则 x > 0,y > 0,z > 0,且 xyz = 8, 所以 1 a2( 1 b + 1 c ) + 1 b2( 1 c + 1 a ) + 1 c2( 1 a + 1 b ) = x2 y + z + y 2 z + x + z 2 x + y , (5 分) 由柯西不等式得[(y + z) + ( z + x) + (x + y)]( x 2 y + z + y2 z + x + z 2 x + y ) ≥ ( y + z· x y + z + z + x· y z + x + x + y· z x + y ) 2 = (x + y + z) 2 , (7 分) 即 2(x + y + z)( x 2 y + z + y 2 z + x + z 2 x + y ) ≥(x + y + z) 2 , 所以 x2 y + z + y 2 z + x + z 2 x + y ≥ 1 2 (x + y + z) ≥ 1 2 × 3 3 xyz = 3,当且仅当 x = y = z = 2 时等号成立. (9 分) 综上, 1 a2( 1 b + 1 c ) + 1 b2( 1 c + 1 a ) + 1 c2( 1 a + 1 b ) ≥ 3. (10 分) 高考原创模拟卷(四) 答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B B A C C B D A D C 1. 【参考答案】B 【命题意图】 本题考查集合的补集运算及元素与集合的关 系,考查数学运算素养. 【解题思路】 因为 A = {1,2,3},所以∁UB = {y | y = 2x,x∈ A} = {2,4,6},又全集 U = {1,2,3,4,5,6},所以 B = {1, 3,5},所以 2 ∉ B,3 ∈ B,4 ∉ B,6 ∉ B. 2. 【参考答案】A 【命题意图】 本题考查复数的四则运算、模及共轭复数,考 查数学运算素养. 【解题思路】 因为 z = a - i,a ∈ R,且zi + b = 2 + i,所以 (a + i) i + b = 2 + i, 即 ai - 1 + b = 2 + i, 所以 b - 1 = 2, a = 1,{ 解得 a = 1, b = 3,{ 则 z = 1 - i, 所以 a + bi z = 1 + 3i 1 - i = | 1 + 3i | | 1 - i | = 10 2 = 5 . 3. 【参考答案】B 【命题意图】 本题考查平面向量的数量积及模,考查数学 运算、逻辑推理素养. 【解题思路】 因为 a与 b的夹角为 60°,且 b