笔记&必记 第三章 圆锥曲线的方程-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

☑笔记&必记 第三章圆锥曲线的方程 3.1椭圆 核心·呈现 1.定义 把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F:F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 用集合语言叙述为P={MIMF:1+IMF:|=2a,2a>FF21}. O名师点睛 (1)对椭圆定义的理解，要抓住常数2a>|F1F:这一条件； (2)2a与|F,F的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a>|F1F2 动点的轨迹是椭圆 2a=|F1F2 动点的轨迹是线段F,F2 2a<|F1F2 动点不存在，因此轨迹不存在 2.椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 若+芳-1(o>b>0) 兰+茶-1o>b0 图形 焦点坐标 (士c,0) (0,士c) a,b,c的关系 a2=b2+c2 名师点睛… 椭圆的两种标准方程中，总是α>b>0,即椭圆的标准方程中，哪一项的分母大，焦点就在相应的那个轴上：反过 来，焦点在哪个轴上，相应的那一项的分母就大 28 ·数学 第三章圆锥曲线的方程 3.椭圆的几何性质 标淮方程 +若-1o>0 22 a+=1(a>b>0) 图形 B B2 A 标准方程 +若=1a>6>0) 22 a+3=1(a>b>0) 顶点坐标 (士a,0),(0,±b) (±b,0),(0,士a) 对称轴 x轴、y轴 焦点坐标 (±c,0),c=√a- (0,士c),c=a2-b 离心率 -(0<e<1) 对称中心 原点 范围 |x≤a,y≤b |x|≤b,ly≤a a,b,c之间的关系 a2=2+c2;a>b,a>c,b与c大小不定 同名师点睛… 椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定椭圆的扁平程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点 是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点.若已知椭圆的标准方程，则根据，b的值可确定其性质. 同拓展延伸 点和椭圆的位置关系： 已声折面方程为导+苦-1u>6心0.两 点以)准箱园外-号+等>1： 点P)在箱国上爱+答-1： 点P)在精国内→+答<1， 4.直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系： 相交一直线与椭圆有两个不同的公共点； 相切一直线与椭圆有且只有一个公共点： 相离一直线与椭圆没有公共点. (2)直线与椭圆的位置关系的判断： ①代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y,整理得到关于x的方程Ax2十Bx十C=0.记该一元二次方程根的判 别式为△，①若△>0，则直线与椭圆相交；②若△=0，则直线与椭圆相切；③若△<0，则直线与椭圆相离， ②几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系.此方法尤其适用 于直线方程含参数（直线过定点）的情况，若直线所过定点在椭圆内或椭圆上，则直线与椭圆必有交点， 数学· 29 ☑笔记&必记 (3)弦长公式： 设斜率为k的直线被椭圆截得的弦为AB,若A,B两点的坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 |AB=√(-)+(0M-2F=√1+x1-2=√①+)儿(+2)P-42J, 或当k≠0时，AB=√+石-%=√(1+存)[十)P-4]： 当k=0时，直线平行于x轴，所以|AB引=|x1一x2. (4)弦中点问题 涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方 程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验。 用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤： ①设点—设出弦的两端点坐标： ②代人— 代入圆锥曲线方程： ③作差—两式相减，利用平方差公式把相减后的式子展开； ④整理—转化为斜率与中点坐标的关系式求解。 典例·剖析 【例3-1一1】下列说法中正确的是() A.已知F(一4,0)，F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知F(一4,0)，F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到F,(一4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点F1(一4,0)，F2(4,0)的距离相等的点的轨迹是椭圆 【解析】A中，F1F2=8,则平面内到F,,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1, F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|,这样的，点不存在，所以B错误：C中，点M(5,3)到F1,F2两点的距离之和为 √（⑤+4）+37+√（⑤一4）+3=4√0>|F:F2|=8,则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂 直平分线，所以D错误.故选C. 【答案】C