专题03 数列讲义-2023届新高考1卷高考复习 解答题篇

解答题篇 专题03 数列 年份 考点 考查内容 2021 全国甲卷 等差、等比数列基本量以及证明等差数列 数列求和以及证明等差数列 全国乙卷 等差、等比数列基本量以及证明等差数列 证明等差数列 新高考1卷 等差、等比数列基本量 数列的求和 2022 新高考1卷 等差、等比数列基本量 裂项相消法 一、数列通项公式an求法 ⑴ 前n项和法： ⑵ 累加法：形如 ⑶ 累乘法：形如 ⑷ 构造法：形如，又叫待定系数法，构成一个新的等差或等比数列 ⑸ 倒数法：形如 二、数列前n项和Sn 求法 1、裂项相消法1：若，则有 裂项相消法2：若，则有 裂项相消法3：若，则有 裂项相消法4：若，则有 裂项相消法5 裂项相消法6 2、整体裂项：（1） =－] （2）=－ 3、错位相减法求和通式：形式：或（其中，为等差数列，为等比数列） 将上式两边同乘以得： 两式相减得： 第一问 题型一. 公式法 （1）等差数列的单调性与最值 已知成等差数列，求的最值问题： 若,d<0且满足,则最大；②若,d>0且满足,则最小. 例1-1等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值； 变式1-1 若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是 ________ 变式1-2 （2021·江苏·高二单元测试）已知是公差为的等差数列， 为数列的前n项和，若成等比数列，则________ （2）求等差等比数列的通项公式 例1-2. 已知数列中，，且是等比数列．求数列的通项公式； 变式1-3 ：等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式. 变式1-4（2020浙江高考真题）已知等比数列的公比q>1,且a3+a4+as=28,a4+2是a3，a5的等差中项.数列｛bn｝满足b1＝1，数列(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n. （1）求q的值； （II）求数列｛bn｝的通项设式。 题型二. 与的关系 ，即已知数列前n项和，求通项。 例：(1)已知下列两数列的前n项和的公式，求的通项公式。 ① ② (2)数列满足，求 针对训练: 1. 已知数列的前项和为,且满足,求数列的通项公式. 2.已知各项均为正数的数列的前项和为满足．_______________. 3.设数列的前n项和为,若且当时,,则的通项公式为_______________. 题型三.累加法 递推公式为=+f(n)或=+f(n)，通常把原递推公式转化为-=f(n) 或-=f(n)，利用逐差相加法求解。 例3. 若在数列中，，，求通项。 针对性训练：已知数列中，求的通向公式 题型四.累乘法 递推公式为=f(n)或=f(n)，通常把原递推公式转化为=f(n) 或=f(n)，利用逐商相乘法求解。 例4 .已知数列满足，求的通向公式。 针对性训练：设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________. 题型五.构造法 一、形如 （其中p，q均为常数，），一般采用待定系数法将原递推公式转化为：，其中，构造等比数列求解。 例5-1.已知数列满足,且.求数列的通项公式. 〖变式5-1〗、在数列中，，当时，有，求的通项公式。 二、形如 型数列， 一般地，对于型如型数列可化为的形式来求通项。 〖例5-2〗、设数列中，，求的通项公式。 三、形如 （A、B、C为常数，）型数列 一般地，对于型如（A、B、C为常数，）型数列，可化为=）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求，当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn +1,重新构造数列，来求。 〖例5-3〗已知数列满足,求. 变式5-3.在数列中,, .求:数列的通项公式; 四、形如 或型数列 一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。 〖例5-4〗.已知数列满足：，求的通项公式。 〖变式5-4〗在数列中，=，=（），求数列通项公式. 〖变式5-5〗 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2);a1=,求通项an. 〖变式5-6〗 在数列｛an｝中，Sn是其前n项和，且Sn≠0，a1=1，an=(n≥2)，求Sn与an。 五、形如型数列 这种类型我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次等式两边取对数后转化为，再利用构造新数列（待定系数法）求解。 〖例5-5〗若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁ 〖练习〗：已知数列｛｝中，，求数列。 六、形如（其中p，q均为常数）型数列。 〖例5-6〗: 数列满足，, （1）求证：数列为等比数列 （2）求 〖练〗数列满足，，求证数列等比数列 七