专题06 全等三角形中的截长补短模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题06 全等三角形中的截长补短模型 【模型展示】 特点 如图，在△ABC中，若AB=12，AC=8，求BC边上的中线AD的取值范围。 解决此问题可以用如下方法： 延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值 【证明】 延长AD至E，使DE=AD，连接BE,如图所示， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD 在△BDE和△CDA中， BD=CD ∠BDE=∠ADC DE=AE ∴△BDE≌△CDA(SAS) ∴BE=AC=8 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE ∴12-8＜AE＜12+8 ∴2＜AD＜10 结论 截长法和补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题. 【模型证明】 解决方案 如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF，求证：BE+CF＞EF. 【证明】 延长FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,如图所示， 同上例得△BMD≌△CFD(SAS) ∴BM=CF ∵DE⊥DF,DM=DF ∴EM=EF 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM 如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB,AD于E,F两点连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明. 【证明】 延长AB至点N,使BN=DF,连接CN,如图所示 ∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180° ∴∠NBC=∠D 在△NBC和△FDC中 BN=DF ∠NBC=∠D BC=DC ∴△NBC≌△FDC（SAS） ∴CN=CF,∠NCB=∠FCD ∵∠BCD=140°，∠ECF=70° ∴∠BCE+∠FCD=70° ∴∠ECN=70°=∠ECF 在△NCE和△FCE中 CN=CF ∠ECN=∠ECF CE=CE ∴△NCE≌△FCE(SAS) ∴EN=EF ∴BE+DF=EF. 【题型演练】 一、解答题 1．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李