专题05 全等三角形与矩形翻折模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题05 全等三角形与矩形翻折模型 【模型展示】 特点 在矩形ABCD中，将△ABC沿着对角线AC翻折得到△AB’C，B’C交AD于点E。 结论 （1）△AEB’≌△CED；（2）AE=CE。 【模型变换】 特点 在矩形ABCD中，E、F分别为边BC、AD上的任意点，连接EF，将四边形CDFE沿着EF翻折得到C’D’FE，。 结论 （1）△CED≌△C’ED’； （2）四边形EDFD’为菱形； （3）C、E、D’三点共线，且C’D∥FD’。 【题型演练】 一、单选题 1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证△AEF≌△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x． 【详解】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置， ∴AE = AB，∠E =∠B ＝∠Ｄ =90°， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AB = CD， ∴AE = DC， 而∠AFE =∠DFC， ∵在△AEF与△CDF中， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴EF = DF； ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD = BC = 6，CD = AB = 4， ∵△AEF≌△CDF， ∴FC = FA， 设FA = x，则FC = x，FD = 6﹣x， 在Rt△CDF中，CF2 = CD2 + DF2， 即x2=42+（6﹣x）2，解得x =， 则FD = 6﹣x =． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理． 2．如图，将矩形纸片折叠（），使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，点不动，将边折起，使点落在上的点处，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】证明Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），推出BF＝DB′，再证明DB′＝EC＝BF＝1，由直角三角形的性质求出AB′，则可得结论． 【详解】解：由翻折的性质可知，EB＝EB′，∠B＝∠AB′E＝∠EB′D＝90°， 在Rt△EBF和Rt△EB′D中， ， ∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL）， ∴BF＝DB′， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°， ∴四边形ECDB′是矩形， ∴DB′＝EC＝1， ∴BF＝EC＝1， 由翻折的性质可知，BF＝FG＝1，∠FAG＝45°，∠AGF＝∠B＝∠AGF＝90°， ∴AG＝FG＝1， ∴AF＝． ∴AB＝AB′＝1＋， ∴AD＝AB′＋DB′＝2＋， 故选B． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明四边形ECDB′是矩形． 3．如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，点D在边BC上，且CD＝3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A'恰好落在边OC上，则OE的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、AD，根据矩形的性质得到BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，即可求得CD、BD，根据折叠的性质得到=AD，根据全等三角形的性质可到=BD=1，再根据勾股定理即可求解． 【详解】连接、AD，如图， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°， ∵CD=3BD， ∴CD=3，BD=1， ∴CD=AB， 根据翻折的性质有：=AD，， ∴在Rt△和Rt△DBA中，CD=AB，=AD， ∴Rt△≌Rt△DBA（HL）， ∴=BD=1， ∴=2， ∵在Rt△中，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解答本题的关键． 4．如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴CD=AB=5，AB=BC=3，， 根据折叠可知，，，， ∴在△AFD和△EFB中， ∴（AAS）， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解