专题07 全等三角形中的倍长中线模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题07 全等三角形中的倍长中线模型 【模型展示】 特点 已知：在△ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD，连接AE则：BC平行且等于AE． 【证明】 延长BD到E，使DE＝BD，连接CE， ∵AD是斜边BC的中线 ∴AD＝CD ∵∠ADE＝∠BDC ∴△ADE≌△BDC（SAS） ∴AE＝BC，∠DBC＝∠AED ∴AE∥BC 结论 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【模型证明】 解决方案 方法一： 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE，则：AB＝CD． 【证明】 延长DE至点F，使EF＝DE． ∵E是BC的中点 ∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ∴△BEF≌△CED（SAS）． ∴BF＝CD，∠D＝∠F． 又∵∠BAE＝∠D， ∴∠BAE＝∠F． ∴AB＝BF． ∴AB＝CD． 方法二： 【证明】 作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G． ∴∠F＝∠CGE＝90°． 又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE， 在△BEF和△CEG中， ， ∴△BFE≌△CGE． ∴BF＝CG． 在△ABF和△DCG中， ∵， ∴△ABF≌△DCG． ∴AB＝CD． 方法三： 作CF∥AB，交DE的延长线于点F． ∴∠F＝∠BAE． 又∵∠BAE＝∠D， ∴∠F＝∠D． ∴CF＝CD． ∵， ∴△ABE≌△FCE． ∴AB＝CF． ∴AB＝CD． 【题型演练】 一、解答题 1．如图，中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且． (1)求证：≌； (2)若，，试求DE的长． 【答案】(1)见解析； (2)； 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明； （2）由（1）结论计算线段差即可解答； （1） 证明：∵BE∥CF，∴∠BED=∠CFD， ∵∠BDE=∠CDF，BD=CD， ∴△BDE≌△CDF（AAS）； （2） 解：由（1）结论可得DE=DF， ∵EF=AE-AF=15-8=7， ∴DE=； 【点睛】本题考查了平行线的