专题12 椭圆的定值、定点和最值问题-【重难点突破】2022-2023学年高二数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题12：椭圆的定值、定点和最值问题 考点一、直线与椭圆位置关系、求弦长及中点弦问题 1．直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】根据直线恒过，且在椭圆内可直接得到结论. 【详解】，在椭圆内， 恒过点，直线与椭圆相交. 故选：A. 2．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（       ） A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个 【答案】D 【分析】根据题意得到，求得点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，根据圆内切于椭圆，得到点是椭圆内的点，即可求解. 【详解】因为直线和圆没有交点， 可得，即， 所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点， 又因为椭圆，可得， 所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点， 所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为. 故选：D. 3．过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出椭圆左焦点，然后写出直线方程为，再联立椭圆解出两交点坐标，最后依据两点之间距离公式得到弦长. 【详解】由,得椭圆方程, 左焦点为, 过左焦点的直线为,代入椭圆方程得 ，解得或， ， 故选：D. 4．椭圆的左右焦点为为椭圆上一点，直线分别交椭圆于M，N两点，则当直线的斜率为时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】写出直线的方程，与椭圆联立求出点的坐标，同理可得点坐标，通过计算直线的斜率即可得结果. 【详解】由已知得， 所以直线的方程为：（其中）， 与椭圆方程联立得， 由韦达定理，所以， 故； 类似得，， 所以， 故选：D． 5．已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】求出直线所过的定点，证明该定点在椭圆内部即可得出结论. 【详解】解：由直线l：，得直线l过定点， 因为，所以该点在曲线C：内部. 所以直线l与曲线C相交. 故选：C. 6．设椭圆C：）的左右焦点分别为，，下顶点为B，直线的方程为，设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线的距离为，且三角形的面积为，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的方程为可知，再根据P到直线的距离为得到P点坐标，代入到三角形的面积为中可求