椭圆离心率专项突破练（能力提升篇）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 8. 椭圆离心率专项突破（同步练） （能力提升篇）（原卷版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2024·四川南充·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（） A． B． C． D． 2.（23-24高二上·河南·期末）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点。已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于切线的对称点为，若，则椭圆的离心率为（） A．2 B． C．3 D． 3.（2024·陕西西安·三模）已知椭圆的离心率为，则的值为（） A． B．2 C． D． 4.（2023·河北石家庄·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，的内切圆与外接圆半径分别为，若，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 5.（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 6.（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线，交椭圆于两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 7.（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段分别交于两点，过点作的切线交轴于，且，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 8.（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，是椭圆上任意一点，则的最大值为（） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（云南省昆明市云南师范大学附属中学2024届高三下学期3月月考）已知为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长交于点，在中，记，，若，则下列说法中正确的是（） A．面积的最大值为 B．椭圆的离心率为 C．若与的内切圆半径之比为3:1，则直线的斜率为 D． 10.（2024·四川南充·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，过坐标原点且与坐标轴不重合的直线与交于两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则（） A． B．的面积小于的面积 C．的外接圆面积小于的外接圆面积 D．的面积最大值为 11.（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（） A．当的最大角为时，椭圆的离心率为 B．当时，的面积为 C．直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·内蒙古赤峰·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为________。 13.（23-24高二下·安徽·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，的延长线交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为________。 14.（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为________。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为。 （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积。 16.（15分）（2024·湖北荆州·三模）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，过焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点。 （1）求椭圆的方程； （2）若线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围。 17.（15分）（23-24高二上·湖南永州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，的面积为。 （1）求的值； （2）若椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，求（为坐标原点）面积的最大值。 18.（17分）（2024·河南郑州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且过点。 （1）求椭圆的方程； （2）过的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求的内切圆半径。 19.（17分）（2023·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形，椭圆过点。 （1）求椭圆的方程； （2）过且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 原卷版答案 一、单选题 1. B 2. D 3. B 4. C 5. B 6. A 7. A 8. C 二、多选题 9. ACD 10. ACD 11. ABD 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15. （1）；（2） 16. （1）；（2） 17. （1）；（2） 18. （1）；（2）；（3） 19. （1）；（2）存在， ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 8. 椭圆离心率专项突破（同步练） （能力提升篇）（解析版） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.（2024·四川南充·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（） A． B． C． D． 答案：B 解析：分三种情况讨论等腰三角形的顶点：①顶点为时，有2个点（上下顶点）；②顶点为时，需，结合椭圆定义，由三角形三边关系得，即；③顶点为时，同理得。要使满足条件的点有6个，需排除顶点重合情况，即（否则上下顶点与焦点顶点重合），故不成立，实际当时，满足条件的点恰好6个，故选B。 2.（23-24高二上·河南·期末）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点。已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于切线的对称点为，若，则椭圆的离心率为（） A．2 B． C．3 D． 答案：D 解析：由椭圆光学性质知三点共线。设，则，由椭圆定义得，。由面积关系，得（为直线倾斜角），又，故，解得。在中，，，，由余弦定理得，结合椭圆基本关系化简得，故选D。 3.（2024·陕西西安·三模）已知椭圆的离心率为，则的值为（） A． B．2 C． D． 答案：B 解析：由椭圆离心率公式，得。又，代入得，即，故，故选B。 4.（2023·河北石家庄·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，的内切圆与外接圆半径分别为，若，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 答案：C 解析：设，由正弦定理得，即。由椭圆定义，余弦定理得，即。由等面积法得，化简得。结合，得，解得，故选C。 5.（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 答案：B 解析：由知为直角三角形，设，则。由椭圆定义得，即。由勾股定理得，即，代入得，解得，故选B。 6.（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线，交椭圆于两点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意得，。因为为正三角形，所以，即，化简得。结合，得，两边除以得，解得（负根舍去），故选A。 7.（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段分别交于两点，过点作的切线交轴于，且，则椭圆的离心率为（） A． B． C． D． 答案：A 解析：先求切线方程，设切线方程为，联立椭圆方程得，由得，切线与轴交点。求出坐标，利用得斜率之积为-1，结合化简得，故，故选A。 8.（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，是椭圆上任意一点，则的最大值为（） A． B． C． D． 答案：C 解析：设左焦点为，由椭圆定义得，则。（三角形两边之差小于第三边），，故最大值为，故选C。 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.（云南省昆明市云南师范大学附属中学2024届高三下学期3月月考）已知为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长交于点，在中，记，，若，则下列说法中正确的是（） A．面积的最大值为 B．椭圆的离心率为 C．若与的内切圆半径之比为3:1，则直线的斜率为 D． 答案：ACD 解析：在中，由正弦定理得，结合得。设，则，，由椭圆定义得，，且，解得，故错误，实际，D正确；由，，在中，由余弦定理得（为），得离心率，B错误；面积最大值为，结合得最大值为，A正确；设内切圆半径分别为，由面积比等于半径比，结合韦达定理得直线斜率为，C正确，故选ACD。 10.（2024·四川南充·二模）已知分别为椭圆的左、右焦点，过坐标原点且与坐标轴不重合的直线与交于两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则（） A． B．的面积小于的面积 C．的外接圆面积小于的外接圆面积 D．的面积最大值为 答案：ACD 解析：四边形为平行四边形，故，错误，实际由基本不等式得，A正确；由对称性知到轴距离大于，故面积大于，B错误；利用正弦定理得外接圆半径，故面积，C正确；设，代入椭圆得，面积，由基本不等式得最大值为，D正确，故选ACD。 11.（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（） A．当的最大角为时，椭圆的离心率为 B．当时，的面积为 C．直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积 D． 答案：ABD 解析：当为上下顶点时最大，由余弦定理得，解得，A正确；时为短轴顶点，面积为错误，实际为（结合化简），B正确；设，计算斜率之积得，，比较得前者小于后者，C错误；，结合椭圆方程得最小值为，D正确，故选ABD。 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（2024·内蒙古赤峰·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为________。 答案： 解析：设，则，由椭圆定义得，。在中，；在中，，解得，代入得，故。 13.（23-24高二下·安徽·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，的延长线交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为________。 答案： 解析：由椭圆定义得，，故。在中，由余弦定理得（为），解得（错误，实际在中用余弦定理），正确步骤：，，，由余弦定理得，结合为等腰三角形，解得。 14.（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为________。 答案： 解析：设，，代入椭圆方程作差得。由中点坐标公式得，直线斜率为-1，故，即。结合得，故。 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为。 （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为1，求的面积。 解析： （1）由椭圆定义知的周长为，得（2分）。由离心率，得（4分）。又，故椭圆方程为（6分）。 （2）直线的方程为，联立椭圆方程得，消去得（8分）。设，，则，（9分）。（11分）。到直线的距离（12分），故面积（13分）。 16.（15分）（2024·湖北荆州·三模）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，过焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点。 （1）求椭圆的方程； （2）若线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围。 解析： （1）由焦点坐标得，离心率，故（3分）。，椭圆方程为（5分）。 （2）当时，直线为，为水平线段，垂直平分线为，点坐标为（7分）。当时，直线方程为，联立椭圆方程得（9分）。设，，中点，则，（11分）。垂直平分线方程为，令得（13分）。由得（14分）。综上，点横坐标取值范围为（15分）。 17.（15分）（23-24高二上·湖南永州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，的面积为。 （1）求的值； （2）若椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于两点，求（为坐标原点）面积的最大值。 解析： （1）设，，由椭圆定义得（2分）。由得，面积（4分）。联立得，即，故，（6分）。 （2）由离心率，结合，解得，，椭圆方程为，（8分）。设直线方程为，联立椭圆方程得（10分）。设，，则，（11分）。面积（13分）。当时，取得最大值（15分）。 18.（17分）（2024·河南郑州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且过点。 （1）求椭圆的方程； （2）过的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求的内切圆半径。 解析： （1）由离心率得，，椭圆方程为（2分）。代入点得，解得，故椭圆方程为（4分）。 （2），设直线方程为，联立椭圆方程得（6分）。设，，由得（8分）。由韦达定理得，（10分）。联立解得，，故直线方程为，即（12分）。 （3）由（2）得，（14分）。的周长为，面积（15分）。设内切圆半径为，由周长，得（17分）。 19.（17分）（2023·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形，椭圆过点。 （1）求椭圆的方程； （2）过且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 解析： （1）由为等边三角形得，，椭圆方程为（3分）。代入点得，解得，故椭圆方程为（5分）。 （2）设直线方程为，联立椭圆方程得（7分）。设，，则，（9分）。假设存在，使得为定值，即（11分）。，分子为（14分）。代入韦达定理得，化简得，对任意成立，解得（16分）。故存在点，使得为定值（17分）。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $