专题06 平面坐标系中距离、对称及最值问题-【重难点突破】2022-2023学年高二数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019选择性必修第一册）

平面坐标系中距离、对称及最值问题 考点一、两点距离公式及几何意义的应用 1．已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】设，根据两点间距离公式和列出关于x的方程，解方程即可求得P的坐标． 【详解】设，则，解得， 点的坐标为， 故答案为：． 2．在直角坐标系xOy中，点到定点，距离之和的最小值是______. 【答案】 【分析】利用对称性求解最小值. 【详解】关于轴的对称点坐标为， 连接点与点，与轴的交点即为， 由对称性可知：，所以， 由两点之间，线段最短可知： 线段的长即为点到定点，距离之和的最小值 ， 故答案为： 3．已知实数x，y满足，那么的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】可以看作是与原点的距离的平方，接着利用点到直线的距离公式即可求出答案 【详解】解：可以看作直线上的动点与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离， 则的最小值为， 故选：A 4．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为______． 【答案】 【分析】设，由题意得到的几何意义为点到两定点与的距离，求出点关于轴的对称点为，转化为求的最小值即可. 【详解】设， 则， ∴的几何意义为点与两定点，之间的距离之和． 如图所示： 设点关于x轴的对称点为，则的坐标为（2，－4）． 则， 要求的最小值，即求的最小值， 又，即的最小值为． 故答案为：. 5．若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，把问题转化为定点与直线上的点间距离最小值求解作答. 【详解】依题意，表示定点与直线上的点间距离， 所以的最小值是点到直线的距离. 故答案为： 6．在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图像交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________． 【答案】4 【分析】设直线方程为，联立直线与函数方程解出两点坐标，利用两点距离公式和均值不等式计算最小值即可. 【详解】设直线，联立曲线方程，解得， 可得, 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以长的最小值为4. 故答案为：4. 考点二、点到直线的距离及平行直线距离及应用 7．若点到直线的距离等于4