微专题 三棱锥的体积公式的推导及其应用 期中复习讲义-2022-2023学年高中数学沪教版（2020）必修第三册

【学生版】 微专题 三棱锥的体积公式的推导及其应用 知识梳理 学习笔记 如图，设是任一给定的三棱锥，其底面面积为， 为高，且； 过顶点分别作，， 连接、、， 显然； 由棱柱的定义，可知为三棱柱，其底面面积为，高为； 下面需要研究的是三棱柱与三棱锥的体积之间的关系； 考察三棱柱的构造可以发现， 比原三棱锥多出的部分是一个四棱锥， 连接， 将这个四棱锥分割成两个等底同高的三棱锥和； 因此，， 另一方面，可将三棱锥视作三棱锥，则它和原三棱锥又是等底同高的三棱锥，于是； 我们证明了三个三棱锥、 与都具有相同的体积， 于是； 由此得； 结论：如图，设是任一给定的三棱锥， 其底面面积为，为高，且； 则三棱锥的体积为； 【说明】以上推导是“割补法”求体积与祖暅原理的交汇； 初步应用；学习笔记 由于任意棱锥都可以分割为若干个同高的三棱锥， 因此， 结论：如图，任一给定的三棱锥， 其底面面积为，为高，且； 则棱锥的体积为；典型例题 例1、如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中， AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC， 点D是AB的中点， 求三棱锥A1­B1CD的体积． 【提示】视角1：视角2： 【说明】几何体的体积的求法：学习笔记 1、直接法：直接套用体积公式求解； 2、等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到； 3、分割法：在求一些不规则的几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体； 4、补形法：对一些不规则(或难求解)的几何体，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的几何体； 例2、已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，.，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【提示】； 【答案】 【解析】 【说明】本题考查了“分割法”求几何体的方法；系“分割法”与待定系数法的综合应用； 例3、七面体玩具是一种常见的儿童玩具．在几何学中，七面体是指由七个面组成的多面体，常见的七面体有六角锥､五角柱､正三角锥柱､Szilassi多面体等．在拓扑学中，共有34种拓扑结构明显差异的凸七面体，它们可以看作是由一个长方体经过简单切割而得到的．在如图所示的七面体中，平面 （1）在该七面体