11.1 柱体的体积(第2课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020必修第三册）

11.1 柱体的体积(第2课时） 沪教版2020必修第三册 第 11章 简单几何体 我们已经知道长方体的体积等于长、宽、高的乘积．对于一般的柱体，是否也可以给出相应的体积公式呢？ 早在公元５世纪，我国数学家祖!在求球体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异．”这里，“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等．如图１１１５，这个原理可以用现代的数学语言表示如下： 祖暅原理　夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等． 我们可以把图１１１５看成装满水的两个不同容器．若在任意给定的等高处液面面积相等，则容器中的水一样多．我们还可以用下面的方法直观地解释祖!原理：如图１１１６，取一堆书放在桌面上，将这堆书如图那样改变一下形状，这时书堆的高度没有改变，每页的面积也没有改变，这堆书的体积与变形前相等． 有了祖暅原理，下面就可以方便地推导一般柱体的积．设某个棱柱的底面积是S底，高是h．为了计算它的体积，我们先构造一个底面积为S底，高为h的长方体，然后把棱柱和长方体同时置于两个平行平面之间，如图１１１７所示． 依据棱柱的定义，用平行于底面的任意平面去截棱柱所形成的截面与底面多边形全等，面积自然也等．这样，由祖暅原理可以得到一般棱柱的体积公式： 其中，S底为棱柱的底面积，h为棱柱的高． 用类似的方法可以推导出圆柱的体积公式： 其中，S底为圆柱的底面积，h为圆柱的高，r为圆柱的底面半径． 例3.已知三棱柱的底面三角形ABC的三边长分别是AB＝１３ｃｍ，BC＝５ｃｍ，CA＝１２ｃｍ，侧棱AA′＝２０ｃｍ，且侧棱AA′与底面所成的角为６０°．求这个三棱柱的体积． 课本练习 ２．一个圆柱形油桶的底面半径为５０ｃｍ，高为１００ｃｍ． 求这个油桶的体积． ３ ３．如图，查一查六角螺帽的尺寸规格，并说明如何计算它的体积． 当堂练习 1、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（ ） 【答案】B； 【解析】设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2； 又∵S侧＝4π，∴a＝2，∴V圆柱＝π×12×2＝2π； 【说明】本题结合圆柱的体积公式，考查了待定系数法； 2、圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为（ ） 【提示】注意：圆柱的侧面展开图； 【答案】C； 【解析】当圆柱的高为 8 cm时， V＝π××8＝(cm3)； 当圆柱的高为 12 cm时，V＝π××12＝(cm3)； 【说明】本题结合圆柱的体积公式，与分类讨论进行了交汇； 3、若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为__________ 4、一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6 cm的正方形，则它的体积为 _ 【解析】因为一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为6 cm的正方形, 所以这个正三棱柱的底面是边长为2 cm的等边三角形，这个正三棱柱的高为6 cm， 5、如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接 长方体A1B1C1D1­ABCD； 设矩形ABCD的面积为S，长方体A1B1C1D1­ABCD的体积为V， AB＝x； （1）将S表示为x的函数； （2）求V的最大值； 【提示】注意将空间问题转化为平面问题； 【解析】（1）连接AC（图略），因为矩形ABCD内接于⊙O， 所以AC为⊙O的直径． THANKS “ ” $