13.5估计总体的数字特征（第2课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020必修第三册）

13.5估计总体的数字特征（第2课时） 沪教版2020必修第三册 第 13章 统计 当我们获得一组样本数据时 ， 通常很难一眼看出其中的规 律 ， 而用图表则可以使得数据变得更为直观 ． 此外 ， 我们还可以利用样本数据进行适当的计算来得到一些新的数量 ， 并用这些新的数量来代表整个样本数据的某些特征 我们把能反映一组数据某种特征的量称为这组数据的 数字特 征 ． 我们在初中阶段学习过的平均数 、 中位数和众数等 ， 就是用来刻画一组数据集中趋势的数字特征 ， 而方差和标准差则是用来刻画一组数据离散程度的数字特征 本节中我们讨论了用样本的频率分布来估计总体的分布 ． 同 样地 ， 我们还可用样本的数字特征来估计总体的数字特征 ２． １　 通过样本估计总体的集中趋势 利用初中阶段学习过的平均数 、 中位数和众数 ， 我们可以描 述有限样本的集中趋势 ． 例如 ， 设样本数据为 x １ 、 x ２ 、…、 xn ，由公式 就得到样本平均数 ， 它描述了样本数据的平均水平 ． 如果 n 个数据中不同的数据 x１ 、 x ２ 、…、 xn的频数分别为 f１ 、 f ２ 、…、fk ， 那么样本平均数为 当数据量大且重复率高时 ， 后一个公式可减少计算量 某公司实行薪资保密制度 ， 员工只知道自己的工作所得 ， 而 不知道其他员工的薪资 ． 现要了解该公司员工的平均年薪 、 中等年薪以及赚取人数最多的那种年薪 ． 在公司员工的花名册中随机抽取 １５ 名员工 ， 调查得到这 １５ 名员工的年薪 （ 单位 ： 万元 ）如下 ： 公司全体员工的平均年薪可用样本的平均数来估计 ， 员工的中等年薪可用样本的中位数来估计 ， 而赚取人数最多的那种年薪可用样本的众数来估计 把所有年薪从低到高排序 ， 中间第 ８ 个数 ８． ２ 即是样本中位数 ．８． １ 出现了 ３ 次 ， 次数最多 ， 即样本的众数为 ８． １ 于是 ， 我们估计该公司员工的平均年薪可能为 ８． ７ 万元 ， 中等年薪可能为 ８． ２ 万元 ， 赚取 ８． １ 万元年薪的可能性最大 ． 当然 ，这样的估计是否合理 ， 还取决于样本的容量与代表性 例2. 为了解某体校学生跑步的情况 ， 观察随机抽取的２０ 名学生一周内跑步的累计数 （ 单位 ： ｋｍ ）， 在各区间内的频数记录如表 １３-６ 所示 ． 试估计一周内该校学生平均跑步累计数 ． 解 　 先求出各区间的中点值 ： ８ 、 １３ 、 １８ 、 ２３ 、 ２８ 、 ３３ 、 ３８．则一周内这 ２０ 名学生跑步累计的平均数为 由于这 ２０ 名学生是随机抽取的 ， 因此可以估计一周内该校 学生平均跑步累计约 ２４． ５ｋｍ． ２． ２　 通过样本估计总体的离散程度 现在我们介绍如何用数量来描述数据的另外一种统计特 征 ——— 样本数据的离散程度 ． 在一次男子 １０ 米气手枪射击比赛中 ， 甲运动员的成绩 （ 单位 ：环 ） 为 ７． ５ 、 ７． ８ 、… 、 １０． ９ ； 乙运动员的成绩为 ８． ４ 、 ８． ５ 、… 、１０． ７ ， 如图 １３-５-３ 所示 ． 射击队想从两位选手中选取一名外出参加比赛 ， 经过计算可 知 ， 两位选手 ２０ 次射击的平均环数都是 ９． ６ ， 但从图 １３-５-３ 中看 ， 甲的成绩比较分散 ， 乙的成绩则相对稳定在高环数段 ． 但看上去 “ 比较分散 ” 和 “ 相对稳定 ” 只是一种直观的描述 ， 我们需要用一些具有统计意义的数量来刻画数据的波动情况 设样本数据为 x１ 、 x２ 、…、 xn ， 我们知道 表示的是样本平均数 ． 在 １３． ４ 节中我们已学习过极差 ， 它反映了样本数据变化的最大幅度 ， 是样本数据离散程度的一种刻画方式 ． 极差对极端数据很敏感 ， 也就是说它是不稳定的 ． 此外 ， 在初中阶段我们已学习过用样本数据的方差 来衡量一组数据的波动大小 ． 一组数据的方差越大 ， 表明这组数 据波动越大 ． 我们把方差的算术平方根 叫做样本数据的 标准差 （ ｓｔａｎｄａｒｄｄｅｖｉａｔｉｏｎ ）， 它同样是一个用来衡量样本数据波动大小的统计量 方差和标准差都反映了一组数据围绕平均数波动的大小 ， 方 差的单位是观测数据的单位的平方 ， 而标准差的单位与观测数据的单位一致 ， 因此我们常常用标准差来描述数据的离散程度 我们可以得出上述例子中甲 、 乙两名运动员的射击成绩的标 准差 ： 由于 S甲 ＞ S乙 ， 说明甲的成绩确实较乙的成绩更为离散 ， 即 乙的成绩较为稳定 ， 与从茎叶图上观察到的结论一致 ， 射击队应选拔乙参加比赛 例3. 在 １３． ４ 节中 ， Ａ 校抽取了 ６６ 名高一年级学生 ， 测量他们的身高数据 ， 如表 １３２ 所示