选修4－5 第1节 绝对值不等式（教师用书）-2023高考数学(理)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第1节　绝对值不等式　 [课标要求]　1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|a＋b|≤|a|＋|b|；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a (－a，a) ∅ ∅ |x|>a (－∞，－a)∪ (a，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c． ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c． (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想． ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|． (2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． (一)必背常用结论 1.|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>－b>0时，等号成立. 2.|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立. (二)盘点易错易混 1.解绝对值不等式时转化不当导致错误； 2.分类讨论时分类标准不当导致错误. 【小题热身】 1．|x－1|<5的解集是(　　) A．(－6，4) B．(－4，6) C．(－∞，－6)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(6，＋∞) 解析：由|x－1|<5得：－5<x－1<5，解得－4<x<6.∴解集为(－4，6)． 答案：B 2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　　) A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7] C．(－2，－1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7) 解析：由题意得 即解得 故不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)． 答案：D 3．设p：|x－2|<5，q：0<x<7，那么p是q的(　　)条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 解析：由|x－2|<5得－5<x－2<5，即－3<x<7， 于是得p，q所对集合分别为{x|－3<x<7}，{x|0<x<7}，显然{x|0<x<7}{x|－3<x<7}， 所以p是q的必要不充分条件． 答案：B 4．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是 ． 解析：∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3. 要使原不等式有解，只需|a|≥3，即a≥3或a≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　绝对值不等式的解法[典例引领]【例1】　(1)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝ ． (2)不等式|x＋3|－|2x－1|<＋1的解集是 . 解析：(1)由不等式的解集可知－，为不等式对应的方程|ax－2|＝3的根，即解得a＝－3. (2)①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，所以x<－3. ②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，所以－3≤x<－. ③当x≥时，原不等式化为x＋3＋1－2x<＋1，解得x>2，所以x>2. 综上可知，原不等式的解集为. 答案：(1)－3　(2) [思维升华]　解绝对值不等式的常用方法有 (1)基本性质法：对a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a，|x|>a⇔x<－a或x>a. (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号． (3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解． (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． [对点练]　(2021·云南昭通检测)已知f(x)＝|x－2|＋|2x＋4|. (1)求不等式f(x)<7的解