选修4－4 第1节 坐标系（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第1节　坐标系　 [课标要求]　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角． (2)极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立： 或 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程 曲线 极坐标方程 圆心为极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(ρ∈R) 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π) (一)必背常用结论 1.明确两个坐标： 伸缩变换关系式点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程 2.把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便准确地求出角θ.利用两种坐标的互化可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题. (二)盘点易错易混 1.忽视极坐标方程的条件致误； 2.极坐标与直角坐标互化错误致误. 【小题热身】 1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　) A． B． C．(1，0) D．(1，π) 解析：法一　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1， 圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为. 法二　由ρ＝－2sin θ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B. 答案：B 2．在同一平面直角坐标系中，直线x－2y＝8变成直线2x′－y′＝4的伸缩变换是 ． 解析：x－2y＝8⇒－＝1， 2x′－y′＝4⇒－＝1， 所以在同一平面直角坐标系中，直线x－2y＝8变成直线2x′－y′＝4的伸缩变换是 答案： 3．ρ＝4sin θ所对应的直角坐标方程为 ． 解析：ρ＝4sin θ即ρ2＝4ρsin θ，所对应的直角坐标方程为x2＋y2＝4y. 答案：x2＋y2＝4y 4．直线x－y＝0的极坐标方程为 ． 解析：由直线x－y＝0，可得k＝，则直线的倾斜角为α，即tan α＝，可得α＝ 可得θ＝α＝或θ＝π＋α＝π＋，即直线的极坐标方程为θ＝或θ＝. 答案：θ＝或θ＝ 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　平面直角坐标系中的伸缩变换[自主演练] 1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形． (1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝1. 解：伸缩变换则 (1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0， 所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线． (2)若x2＋y2＝1，则(2x′)2＋(3y′)2＝1， 则x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆． 2．在同一坐标系中，求将曲线y＝sin 3x变为曲线y＝sin x的伸缩变换公式． 解：将曲线y＝sin 3x经过伸缩变换变为y＝sin x，即y′＝sin x′.① 设伸缩变换公式是 把伸缩变换关系式代入①式得μy＝sin λx. 又y＝sin 3x，所以所以变换公式为 考点2　极坐标方程与直角坐标方程的互化[典例引领] 【例1】　在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知