第八章 高考大题专项突破(四)　立体几何中的平行与垂直的综合应用（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

高考大题专项突破(四)　立体几何中的平行与垂直的综合应用 线面关系是立体几何中的一种重要关系，在高考中几乎每年都会考查，且常以多面体为背景，题目难度中等，注意考查学生直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养．高考始终把直线与平面平行(垂直)的性质与判定和平面与平面平行(垂直)的判定与性质作为考查的重点，常以棱柱、棱锥为背景设计命题，也考查有关表面积、体积或空间角的计算．近几年以探索性问题考查线面、面面关系是考查热点，如探索点的存在性、探索点的位置等是命题热点． 题型一　平行、垂直关系的证明 【例1】　(2020·江苏高考)在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． (1)求证：EF∥平面AB1C1； (2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1. [思维点拨]　(1)证明EF∥AB1，然后利用直线与平面平行的判断定理证明EF∥平面AB1C1； (2)证明B1C⊥AB，结合AB⊥AC，证明AB⊥平面AB1C，然后证明平面AB1C⊥平面ABB1. 解：(1)证明：E，F分别是AC，B1C的中点． 所以EF∥AB1， 因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1， 所以EF∥平面AB1C1； (2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以B1C⊥AB， 又因为AB⊥AC，AC∩B1C＝C，AC⊂平面AB1C，B1C⊂平面AB1C， 所以AB⊥平面AB1C， 因为AB⊂平面ABB1， 所以平面AB1C⊥平面ABB1. [思维升华] (1)平行问题的转化 (2)垂直问题的转化 题型二　立体几何中的计算问题 【例2】　(2020·新课标Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAC； (2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥P­ABC的体积． [思维点拨]　(1)首先利用三角形的全等求出AP⊥BP，CP⊥BP，进一步求出二面角的平面角为直角，进一步求出结论． (2)利用锥体的体积公式、圆锥的侧面积公式及勾股定理求出结果． 解：(1)如图所示，连接OA，OB，OC，△ABC是底面的内接正三角形， 所以AB＝BC＝AC. O是圆锥底面的圆心，所以：OA＝OB＝OC， 所以AP2＝BP2＝CP2＝OA2＋OP2＝OB2＋OP2＝OC2＋OP2， 所以△APB≌△BPC≌△APC， 由于∠APC＝90°，所以∠APB＝∠BPC＝90°， 所以AP⊥BP，CP⊥BP， 由于AP∩CP＝P，所以BP⊥平面APC， 由于BP⊂平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAC. (2)设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 所以l＝. 由于圆锥的侧面积为π， 所以π·r·＝π，整理得(r2＋3)(r2－1)＝0， 解得r＝1. 所以AB＝＝. 由于AP2＋BP2＝AB2，解得AP＝ 则：VP­ABC＝××××＝. [思维升华]　(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积． (2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 题型三　平面图形的翻折问题 【例3】　(2021·河南平顶山模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°， AB＝4，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2)，G为AE中点． (1)求证：DG⊥平面ABCE； (2)求四棱锥D­ABCE的体积； (3)在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． [思维点拨](1)弄清楚折叠前后是否发生变化； (2)按照体积公式求解； (3)先作后证． 解：(1)证明：因为G为AE中点，AD＝DE＝2， 所以DG⊥AE. 因为平面ADE⊥平面ABCE， 平面ADE∩平面ABCE＝AE，DG⊂平面ADE， 所以DG⊥平面ABCE. (2)在Rt△ADE中， 由勾股定理得AE＝2，则DG＝＝. 所以四棱锥D­ABCE的体积为 VD­ABCE＝××＝. (3)如图所示，过点C作CF∥AE交AB于点F，则AF∶FB＝1∶3，过点F作FP∥AD交DB于点P，连接PC， 则DP∶PB＝1∶3. 又因为CF∥AE，AE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE， 所以CF∥平面ADE.同理FP∥平面ADE. 又因为CF∩PF＝F，CF，PF⊂平面CFP， 所以平面CFP∥平面ADE. 因为CP⊂平面CFP，所以CP∥平面ADE. 所