第二章 第9节 函数模型及其应用（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第9节　函数模型及其应用　 [课标要求]　1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 　　　函数 性质　　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<xn<ax (一)必背常用结论 “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢. (二)盘点易错易混 1.用折线图刻画函数变化过程对折线图识别不清，数据混淆而致误； 2.三种函数的增长速率变化认识不清导致判断增长变化失误. 【小题热身】 1．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　) A．36万件 B．18万件 C．22万件 D．9万件 解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值． 答案：B 2．[易错题]已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 解析：作出图象可知，B正确，选B. 答案：B 3．在某个物理实验中，测量后得变量x和变量y的几组数据，如表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最合适的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：由x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；由x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意． 答案：D 4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是 ． 解析：由题意可得y＝ 答案：y＝ 5．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到 只． 解析：由题意知100＝alog3(2＋1)， ∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)． 当x＝8时，y＝100log39＝200. 答案：200 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 用函数图象刻画变化过程[自主演练] 1．某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2021年1月至2021年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据．绘制了下面的折线图． 根据折线图，下列结论正确的是(　　) A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月 D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 解析：由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C错误．故选D. 答案：D 2.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一