第二章 第8节 函数与方程（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第8节　函数与方程　 [课标要求]　1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)， (x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 3.二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (一)必背常用结论 1.若y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点. 2.f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3.若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，且f(x)的图象连续不断，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a，b]上只有一个零点. (二)盘点易错易混 1.对零点存在主观理解应用错误致使判断方程根或函数零点时失误.另外，需注意f(x)在区间[a，b]内存在零点与在区间(a，b)内存在零点的区别：若函数f(x)在[a，b]内存在零点，则a，b有可能是零点；若f(x)在(a，b)内存在零点，则x＝a，x＝b不在讨论范围之内. 2.在求解与一元二次函数有关的求参数的取值范围问题时需要注意：①函数图象的开口方向；②函数图象的对称轴；③区间端点函数值的大小；④对应方程根的判别式、根与系数的关系等.如果做题时忽略某个方面，就可能会导致所求参数范围不正确. 【小题热身】 1．[易错题]设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内(　　) A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一实根 解析：由函数零点存在定理知，函数f(x)的图象在[a，b]内与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a，b]内只有一个实根． 答案：D 2．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 答案：B 3．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．和(3，4) D．(4，＋∞) 解析：∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0， 且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数， ∴f(x)的零点在区间(2，3)内． 答案：B 4．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是 ． 解析：由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点． 答案：1 5．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是 ． 解析：二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1，若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1. 答案：(－8，1] 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 函数零点所在区间判断[典例引领] 【例1】　(一题多法)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线． 由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内． 法二(图象法)： 函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝l