第二章 第6节 对数与对数函数（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第6节　对数与对数函数　 [课标要求]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点；3.知道对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1)． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝logaM. (2)对数的性质 ①alogaN＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad． 3．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)(0，＋∞) 值域 (2)R 性质 (3)过定点(1，0) (4)当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 (5)当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． (一)必背常用结论 1.换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad. 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. (二)盘点易错易混 1.研究对数函数性质时易忽视定义域致误. 2.对数不等式问题，一般是先确保对数中真数大于0，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分a>1和0<a<1两种情况讨论. 【小题热身】 1.＋log2＝(　　) A．2 B．2－2log23 C．－2 D．2log23－2 解析：＝＝2－log23，又log2＝－log23，两者相加即为B. 答案：B 2．函数y＝log2(x＋1)的图象大致是(　　) 解析：函数y＝log2(x＋1)的图象是把函数y＝log2x的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函数，故选C． 答案：C 3．[易错题]函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调增区间为(　　) A． B． C．(－2，3) D． 解析：由－x2＋x＋6>0，解得－2<x<3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的减区间． 利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的减区间为. 答案：A 4．函数y＝loga(4－x)＋1(a>1，且a≠1)的图象恒过点 ． 解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1) 5．[易错题]若loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是 ． 解析：当0<a<1时，loga<logaa＝1，所以0<a<；当a>1时，loga<logaa＝1，所以a>1. 答案：∪(1，＋∞) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 对数式的运算[自主演练] (1)已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为 ． (2)lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ ． (3)若logab·log3a＝4，则b＝ ． (4)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝ ． 解析：(1)由2x＝3，log4＝y得x＝log23，y＝log4＝log2，所以x＋2y＝log23＋log2＝log28＝3. (2)原式＝2lg 5＋(lg 5＋1)＋lg 2×(2＋lg 5)＋(lg 2)2＝1＋3lg 5＋2lg 2＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝