第二章 第5节 指数与指数函数（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第5节　指数与指数函数　 [课标要求]　1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0，1) (4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 (5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数 (一)必背常用结论 (1)画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，). (2)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”. (3)底数大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高. (4)指数函数的图象向左(或向右)平移不会与x轴有交点，向上(或向下)平移a个单位长度后，图象都在直线y＝a(或y＝－a)的上方. (二)盘点易错易混 1.在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，易忽视字母的符号. 2.指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1. 【小题热身】 1．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点(　　) A．(0，1) B．(1，1) C．(2，0) D．(2，2) 解析：由f(2)＝a0＋1＝2，知f(x)的图象必过点(2，2)． 答案：D 2．化简 (a>0，c<0)的结果为(　　) A．± B．－ C．－ D． 解析：原式＝＝＝×＝－ab＝－.故选B. 答案：B 3．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　) 解析：因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．故选A． 答案：A 4．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为 ． 解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数， ∴0<a－2<1，即2<a<3. 答案：(2，3) 5．[易错题]化简(x<0，y<0)＝ ． 解析：因为x<0，y<0，所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y. 答案：－2x2y 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 指数幂的运算[自主演练] 1．计算：＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0. 解：原式＝(－1)－×＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－. 2．[易错题]化简：(a>0，b>0)． 解：原式＝＝a＋－1＋×b1＋－2－＝ab－1＝. 3．若x＋x－＝3，求的值． 解：由x＋x－＝3，两边平方，得x＋x－1＝7， 再平方得x2＋x－2＝47. 所以x2＋x－2－2＝45. 由x＋x－＝3，两边立方， 得x＋3x＋3x－＋x－＝27. 所以x＋x－＝18， 所以x＋x－－3＝15. 所以＝. [思维升华]　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用指数幂的运算法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 考点2 指数函数的图象及应用[典例引领] 【例1】　(1)已知函数f(x)＝x2－2x＋1，x∈[1，4]．当x＝a时，f(x)取得最大值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的大致图象为(　　) (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为 ． 解析：(1)因为f(x)＝x2－2x＋1＝(x－2)2－1，x∈[1，4]，所以当x＝4时，f(x)