第二章 第4节 幂函数与二次函数（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第4节　幂函数与二次函数　 [课标要求]　1.了解幂函数的概念；2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况；3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较 (3)幂函数的性质比较 　 函数 性质 　 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R 且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R 且y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 增 x∈[0，＋∞) 时，增；x∈ (－∞，0] 时，减　 增 增 x∈(0，＋∞) 时，减；x∈ (－∞，0) 时，减 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在x∈上单调递减；在x∈上单调递增 在x∈上单调递减；在x∈上单调递增 对称性 函数的图象关于x＝－对称 (一)必背常用结论 1.二次函数系数的特征 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向，|a|决定开口大小. (2)－的值决定图象对称轴的位置. (3)c的取值决定图象与y轴的交点. (4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数. 2.一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”. (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”. (二)盘点易错易混 1.忽略对二次项系数的讨论是常见且典型的错误，要注重对二次项系数的讨论. 2.对幂函数的性质把握不准，需要对指数进行正确分类才能正确求解问题 【小题热身】 1．函数y＝x－1的图象大致是(　　) 解析：函数y＝x的图象恒过点(1，1)，则y＝x－1的图象过点(1，0)且为增函数，故选A． 答案：A 2．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：由题意知即解得a>. 答案：C 3．已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)＝ ． 解析：∵点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，∴a－1＝1，解得a＝2，则2b＝，∴b＝－1，∴f(x)＝x－1. 答案：x－1 4．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是 ． 解析：函数y＝x2－2tx＋3的图象开口向上，以直线x＝t为对称轴．又函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t≤1. 答案：(－∞，1] 5．[易错题]要使函数y＝mx2＋mx＋m－1的值恒为负值，则m的取值范围为 ． 解析：函数y＝mx2＋mx＋m－1的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋m－1<0对一切实数x恒成立，于是 ①当m＝0时，－1<0恒成立； ②当m≠0时，要使其恒成立，则有 解得m<0. 综上，m的取值范围为{m|m≤0}． 答案：(－∞，0] 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 幂函数的图象与性质[自主演练] 1．幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则y＝f(x)的图象大致是(　　) 解析：设幂函数为y＝xα，因为y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝.所以y＝x.C正确． 答案：C 2．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 解析：∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数， ∴解得n＝1.故选B. 答案：B 3．[易错题]若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 解析：因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝，因为y＝是减函数，所以a＝<c＝，所以b<a<c. 答案：D 4．不等式≤的解集是(　　) A． B． C．