第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第3节　函数的奇偶性与周期性　 [课标要求]　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． (一)必背常用结论 1.两个性质 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性常用的结论 对函数f(x)定义域内任一自变量的值x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0). (二)盘点易错易混 1.判断函数的奇偶性时，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.定义在R上的奇函数在应用时易忽视x＝0的情形. 【小题热身】 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－1)＝－f(1)． 又∵f(1)＝12＋1＝2，∴f(－1)＝－2. 答案：A 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 023)＝(　　) A．5 B． C．2 D．－2 解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2. 答案：D 3．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝ ． 解析：f＝f＝－4×＋2＝1. 答案：1 4．[易错题]已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝ ． 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x<0时，－x>0.由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋x－1. 答案：x2＋x－1 5．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是 ． 解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，1]∪[3，＋∞) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 函数的奇偶性[多维讲练] 函数的奇偶性常见的考查一是函数奇偶性的判断，二是函数奇偶性的应用(求解析式，待定参数求值等)． 角度1　函数奇偶性判断 【例1】　(1)下列函数为偶函数的是(　　) A．y＝tan B．y＝x2＋e|x| C．y＝xcos x D．y＝ln|x|－sin x 解析：对于选项A，易知y＝tan为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝xcos x，则f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数． 答案：B (2)(一题多法)判断f(x)＝的奇偶性． 解：法一(定义法)　取x>0，则－x<0， ∴f(－x)＝(－x)2＋(－x) ＝x2－x＝－(－x2＋x) ＝－f(x)． 取x<0，则－x>0， ∴f(－