第二章 第2节 函数的单调性与最值（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第2节　函数的单调性与最值　 [课标要求]　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 (一)必背常用结论 (1)函数单调性的两种等价形式,设任意x1，x2∈[a，b]且x1<x2，那么,①>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； <0⇔f(x)在[a，b]上是减函数. ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数. (2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]. (3)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数. (4)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反. (5)函数f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”. (二)盘点易错易混 1.若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数. 2.求复合函数的单调区间时易忽视定义域，记住单调区间是定义域的子集. 【小题热身】 1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内的单调递减的是(　　) A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex 解析：对于选项A，y＝在(0，＋∞)内是减函数，y＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B、C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y＝ex在(0，＋∞)上是增函数． 答案：A 2．[易错题]已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　) A．(－∞，1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1] D．[1，＋∞) 解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．故选B. 答案：B 3．函数y＝有(　　) A．最小值2 B．最小值 C．最大值2 D．最大值 解析：易知y＝，因为(x－1)2＋2≥2，所以y≥. 答案：B 4．函数f(x)＝的最大值为 ． 解析：当x≥1时，f(x)max＝1，x<1时，f(x)max＝2，综上f(x)的最大值为2. 答案：2 5．已知函数f(x)的定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是 ． 解析：因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)<f.所以0≤2x－1<，解得≤x<. 答案： 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 确立函数的单调性(或区间)[多维讲练] 函数单调性的判断常从求函数的单调区间与单调性判断两方面考查，单调性的判断可用定义法、图象法，但常用导数法． 角度1　定义法判断或证明函数的单调性 【例1】　　讨论函数f(x)＝(a>0)在(－∞，1)上的单调性． 解析：(定义法)：取任意的x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，f(x)＝a ＝a， f(x1)－f(x2)＝a－a ＝， ∵x1<x2<1，∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>