第二章 第1节 函数及其表示（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第1节　函数及其表示　 [课标要求]　1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A，B 设A，B是两个非空的数集 设A，B是两个非空的集合 对应关系 f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． (一)必背常用结论 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点. 2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致. (二)盘点易错易混 1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域. 2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”.求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 【小题热身】 1．下列说法中正确的是(　　) A．f(x)＝＋是一个函数 B．已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)＝m3 C．y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数 D．f(x)＝则f(－x)＝ 解析：对于A，定义域是空集，不满足函数的概念，故A错误；对于B，f(x)是常数函数，所以f(m3)＝m，故B错误；对于C，两个函数的定义域不同，故不是同一函数，C错误；对于D，结合分段函数可知D正确．故选D. 答案：D 2．(2020·北京高考)函数f(x)＝＋ln x的定义域是 ． 解析：由知x>0，故定义域为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 3．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝ ． 解析：令t＝，∴x＝.∴f(t)＝＋. ∴f(x)＝. 答案： 4．已知函数f(x)＝则f(1)＝ ；若f(a)＝5，则a＝ ． 解析：f(1)＝5.当a≥0时，由f(a)＝a2＋4a＝5可知a＝1； 当a＜0时，由f(a)＝a2－4a＝5得a＝－1. 综上可知a＝±1. 答案：5　±1 5．[易错题]设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为 ． 解析：因为f(x)是分段函数，所以f(x)≥1应分段求解．当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以x≤－2或0≤x<1；当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0，10]． 答案：(－∞，－2]∪[0，10] 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 函数的定义域[自主演练] 1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[－2，2] B．[－2，0)∪(0，2] C．(－1，0)∪(0，2] D．(－1，2] 解析：要使f(x)＝＋有意义，则得x∈(－1，0)∪(0，2]． 答案：C 2．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是 ． 解析：令t＝2x，则由函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，可知f(t)中0≤t≤2.故要使函数f(2x)有意义，则0≤2x≤2，解得0≤x≤1，所以函数f(2x)的定义域为[0，1]． 所以函数g(x)有意义的条件是解得0≤x<1. 故函数g(x)的定义域是[0，1)． 答案：[0，1) 3．[易错题]若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 解析：因为函数y＝的定义域为R， 所以mx2＋4mx＋3≠0， 所以m＝0或即m＝0或0<m<，所以实数m的取值范围是. 答案： [思维升华]　求抽象函数定义域的方法 考点