第一章 第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 [课标要求]　1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示，含有全称量词的命题叫做全称命题． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题． 3．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，¬p(x0) ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，¬p(x) (一)必背常用结论 1.用“并集”的概念来理解“或”，用“交集”的概念来理解“且”，用“补集”的概念来理解“非”． 2.记忆口诀：(1)“p或q”，有真则真；(2)“p且q”，有假则假；(3)“非p”，真假相反． 3.命题p∧q的否定是(¬p)∨(¬q)；命题p∨q的否定是(¬p)∧(¬q). (二)盘点易错易混 1.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错； 2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定； 3.注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”． 【小题热身】 1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　) A．∃x0∈R，x＋x0≤0 B．∃x0∈R，x＋x0<0 C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0 解析：由全称命题的否定是特称命题知选项B正确． 答案：B 2．命题p：∀x∈R，sin x<1；命题q：∃x0∈R，cos x0≤－1，则下列结论是真命题的是(　　) A．p∧q B．¬p∧q C．p∨¬q D．¬p∧¬q 解析：p是假命题，q是真命题， ∴¬p∧q是真命题． 答案：B 3．(2021·吉林辽源模拟)下列命题中的假命题是(　　) A．∃x0∈R，使得log2x0＝0 B．∀x∈R，x2>0 C．∃x0∈R，使得cos x0＝1 D．∀x∈R，2x>0 解析：由于log21＝0，因此∃x0∈R，使得log2x0＝0为真命题；当x＝0时，x2＝0，因此∀x∈R，x2>0为假命题；当x0＝2π时，cos x0＝1，因此∃x0∈R，使得cos x0＝1为真命题；根据指数函数的性质，∀x∈R，2x>0为真命题． 答案：B 4．[易错题]若ab＝0，则a＝0或b＝0，则其否命题为 ． 答案：若ab≠0，则a≠0且b≠0 5．[易错题]已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R，4x－2x＋1＋m＝0”，若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是 ． 解析：若 ¬p是假命题，则p是真命题， 即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解， 由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1. 答案：(－∞，1] 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 含有逻辑联结词的命题及真假判断[自主演练] 1．(2021·全国高考乙卷)已知命题p：∃x0∈R，sin x0<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是(　　) A．p∧q B．¬p∧q C．p∧¬q D．¬(p∨q) 解析：由于sin 0＝0，所以命题p为真命题； 由于y＝ex在R上为增函数，|x|≥0，所以e|x|≥e0＝1，所以命题q为真命题； 所以p∧q为真命题，¬p∧q、p∧¬q、¬(p∨q)为假命题． 答案：A 2．[易错题]已知命题p：函数y＝＋sin x，x∈(0，π)的最小值为2；命题q：若向量a，b满足a·b＝b·c，则a＝c.下列命题为真命题的是(　　) A．¬p∧q B．p∨q C．p∧¬q D．¬p∧¬q 解析：命题p：因为x∈(0，π)，所以sin x∈(0，1]，由基本不等式得y≥2＝2，而等号取不到，所以命题p是假命题；命题q：因为向量a，b满足a·b＝b·c，所以b·(a－c)＝0，所以b＝0或a＝c或b⊥(a－c)，所以命题q是假命题． 所以¬p为真，¬q为真，所以¬p∧q，p∨q，p∧¬q为假命题，¬p∧¬q为真命题．故选D. 答案：D 3．已知命题p，q是简单命题，则“¬p是假命题”是“p∨q是真命题”的(　　)