第一章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件（教师用书）-2023高考数学(文)【正禾一本通】高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件　 [课标要求]　1.理解命题的概念；2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．四种命题间的相互关系 2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． (2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p (一)必背常用结论 充要条件的两个结论： (1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件． (2)若p是q的充分不必要条件，则¬q是¬p的充分不必要条件． (二)盘点易错易混 1.易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论． 2.易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同． 【小题热身】 1．命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是(　　) A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0 B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0 解析：将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0. 答案：D 2．有下列几个命题： ①“若a>b，则>”的否命题； ②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题． 其中真命题的序号是(　　) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则≤”，假命题；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题，所以真命题的序号是②③. 答案：C 3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由(x－1)(x＋2)＝0，可得x＝1或x＝－2，不一定推出x＝1.反之成立，故选B. 答案：B 4．[易错题]“在△ABC中，若C＝90°，则A，B都是锐角”的否命题为 ． 解析：原命题的条件：在△ABC中，C＝90°，结论：A，B都是锐角． 否命题是否定条件和结论，即“在△ABC中，若C≠90°，则A，B不都是锐角”． 答案：在△ABC中，若C≠90°，则A，B不都是锐角 5．条件p：x>a，条件q：x≥2.若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 ． 解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以a≥2. 答案：a≥2 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1 命题及其关系[自主演练] 1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的(　　) A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．否定 解析：命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题． 答案：B 2．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(　　) A．与原命题同为假命题 B．与原命题的否命题同为假命题 C．与原命题的逆否命题同为假命题 D．与原命题同为真命题 解析：设△ABC中，A≤B≤C．若△ABC有一内角为，则可知B＝，所以A＋C＝，所以2B＝A＋C，所以A，B，C成等差数列．若△ABC的三内角成等差数列，则C－B＝B－A，所以2B＝A＋C．又A＋B＋C＝π，所以B＝，即原命题与其逆命题同为真命题．故选D. 答案：D 3．[易错题]在下列四个命题中，真命题是(　　) ①“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题； ②“若x2>0，则x>1”的逆否命题； ③“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题． A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 解析：①“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直于(b－c)”，由a·b≠a·c可得a·(b－c)≠0，据此可知a不垂直于(b－c)，所以该命题为真命题；②命题“若x2>0，则x>1”为假命题，所以其逆否命题为假命题；③“等边三角形的三个内角均为60