专题03 全等三角形中的一线三垂直模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题03 全等三角形中的一线三垂直模型 【模型展示】 特点 【已知】如图，为等腰直角三角形， 【证明】由， 同理，在和中,. 结论 . 【模型证明】 解决方案 【结论一】 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则有以下结论成立： ①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE 【证明】： ①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵DC+CE＝DE， ∴DE＝AD+BE． 【结论二】（其他形状一线三垂直） ①DE＝AD﹣BE ②DE＝BE﹣AD 【题型演练】 一、单选题 1．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（    ） A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm 【答案】C 【详解】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明△ACD和△CBE全等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和． 【分析】解：由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB， ∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a， ∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a， ∵a＝8cm， ∴7a＝56cm， ∴DE＝56cm， 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 2．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】要求的面积，想到过点作，垂足为，因为题目已知，想到把放在直角三角形中，所以过点作，垂足为，利用勾股定理求出的长，最后证明即可解答． 【详解】解：