专题04 全等三角形中的对角互补模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题04 全等三角形中的对角互补模型 【模型展示】 特点 如图，在四边形ABCD中，∠1+∠2＝180°，BA＝BC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立： ①△BAE≌△BCD 【证明】 ①证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠C＝180°， ∴∠BAE=∠BCD 在△BAE和△BCD中 AE=CD ∠BAE=∠BCD AB=BC ∴△BAE≌△BCD（SAS）． 结论 △BAE≌△BCD 【模型证明】 解决方案 【结论一】（对角互补——含90°角） 如图，在四边形ABCD中，∠1=90°，∠2＝90°，BA＝BC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立： ①△BAE≌△BCD；②△BED为等腰Rt△ 【证明】 ①证明：证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠C＝180°， ∴∠BAE=∠BCD 在△BAE和△BCD中 AE=CD ∠BAE=∠BCD AB=BC ∴△BAE≌△BCD（SAS）． ②证明： ∵△BAE≌△BCD ∴∠EBA=∠DBC,BE=BD ∵∠DBC+∠ABD＝90° ∴∠EBA+∠ABD＝∠EBD＝90° ∴△EBD为等腰Rt△ 【结论二】（对角互补——含60°角） 如图，在四边形ABCD中，∠1=60°，∠2＝120°，BA＝BC，连接BD，延长DA至E，使得AE=DC，则有以下结论成立： ①△BAE≌△BCD；②△BED为等边△ 【证明】 ①证明：证明：∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠C＝180°， ∴∠BAE=∠BCD 在△BAE和△BCD中 AE=CD ∠BAE=∠BCD AB=BC ∴△BAE≌△BCD（SAS）． ②证明： ∵△BAE≌△BCD ∴∠EBA=∠DBC,BE=BD ∵∠DBC+∠ABD＝60° ∴∠EBA+∠ABD＝∠EBD＝60° ∴△EBD为等边△ 【题型演练】 一、单选题 1．Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论 ①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是【   】 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°， ∴AD =DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN =90°－∠ADN=∠FDC． ∴△EDA≌△FDC（ASA）． ∴AE=CF． ∴BE+CF= BE+ AE=AB． 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=BC． ∴(BE+CF)=BC． ∴结论①正确． 设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b． ∴． ∴． ∴结论②正确． 如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O． ∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形， ∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD， OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG． ∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD． ∴结论④错误． ∵△EDA≌△FDC， ∴． ∴结论③错误． 又当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分． ∴结论⑤正确． 综上所述，结论①②⑤正确．故选C． 二、填空题 2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 【答案】4+4． 【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN+BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长＝BD+DC，代入求出即可． 【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图： 由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN， ∵∠BAC＝∠D＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ABD+∠ABE＝180°， ∴E，B，M三点共线， ∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°， ∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BA