第14讲 等差数列的通项求和及性质7大题型 -【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第14讲 等差数列的通项求和及性质7大题型 【考点分析】 考点一：等差数列的基本概念及公式 ①等差数列的定义：（或者）． ②等差数列的通项公式：，通项公式的推广： ③等差中项：若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有（）． ④等差数列的前项和公式： 考点二：等差数列的性质 ①通项下标和性质：在等差数列中，当时，则． 特别地，当时，则． ②等差数列通项的性质：，所以当时，等差数列的通项为关于的一次函数，即． ③等差数列前n项和的常用性质：，所以当时，等差数列的前n项和为关于的二次函数且没有常数项，即 因为 当时，开口向上，有最小值； 当时，开口向下，有最大值； 【题型目录】 题型一：等差数列通项求和公式运用 题型二：等差中项及性质问题 题型三：等差数列前项和的性质 题型四：等差数列前n项和的最值 题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题 题型六：等差数列新文化试题 题型七：对于含绝对值的数列求和问题 【典型例题】 题型一：等差数列通项求和公式运用 【例1】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列中，，，若，则（    ） A．671 B．672 C．673 D．674 【答案】D 【分析】分析得到数列是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解. 【详解】∵，， ∴ ∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列， ∴，解得. 故选：D. 【例2】（2022·全国·高三专题练习）数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推公式得到数列是等差数列，进而求出公差和通项公式，求出，得到答案. 【详解】数列满足，则数列是等差数列， 设等差数列的公差为. 因为， 所以，即. 所以， 所以，， ， 所以，. 故选：B 【例3】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（       ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 【答案】D 【解析】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 【例4】（2022·北京石景山·高二期末）等差数列的前项和为，前项积为，已知，，则（       ） A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值 【答案】C 【详解】依题意，由解得，，所以等差数列的前项和满足：最小，无最大值.… … 当时：，且为递减数列，故有最大值，没有最小值. 故选：C 【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知数列均为等差数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，得出，令，可得构成一个等差数列，求得公差，即可求得的值. 【详解】由题意，设， 则， 令，可得构成一个等差数列， 所以由已给出的 ，， ，，所以 解得：，即. 故选：B 【例6】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】设的公差为，依题意得到方程组，解得、，从而得解. 【详解】解：设的公差为，依题意可得， 即，解得，所以； 故选：C. 【例7】（2021·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列的前n项和为，若，，，则m等于（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【详解】是等差数列，，又， ∴公差，，故选：D． 【题型专练】 1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列中，为数列的前项和，则（       ） A．115 B．110 C． D． 【答案】D 【解析】设数列的公差为，则由得，解得， ． 故选：D． 2．（2022全国高二专题练习）在等差数列中，，且 （1）求数列的首项､公差； （2）设，若，求正整数m的值. 【答案】（1）数列的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3；（2）6. 【分析】（1）根据条件，列出两个关于首项和公差的方程，然后解方程即可； （2）由（1）求出数列的通项，然后再求出，再根据求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，前n项和为，由已知可得： 或， 即数列的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3. （2）由（1）可知或 当时，，又，而不满足题意； 当时，，又， 所以， 整理得，因为m为正整数，所以m=6. 3．（2022·山西吕梁·高二期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层