专题07 角平分线的基本模型（一）全等类-2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题07 角平分线的重要模型（一）全等类 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等） 【模型解读与图示】 已知如图1，为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题. 图1 图2 1．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．      （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想； （2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】（1）；证明见解析；（2）；证明见解析． 【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD； （2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC＋AB＝CD． 【详解】（1）猜想：． 证明：如图②，在上截取，连结， ∵为的角平分线时， ∴，∵， ∴， ∴，， ∵，∴． ∵， ∴，∴， ∴． （2）猜想：． 证明：在的延长线上截取，连结． ∵平分，∴． 在与中，，，， ∴． ∴，． ∴． 又，，． ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在中，满足， (1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：． (2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由． (3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，证明见解析 (3)猜想，证明见解析 【分析】（1）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证； （2）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证； （3）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证． （1） 证明：∵为的角平分线， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 解：（1）中的结论还成立，证明如下： ∵为的角平分线时，∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 解：猜想，证明如下： ∵平分， ∴， 在与中,， ∴， ∴，， 如图，∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE） （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明． （3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC 【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠A