专题08 角平分线的基本模型（二）非全等类-2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。 模型1.双角平分线模型（导角模型） 【模型解读】 双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。 【模型图示】 条件：BD，CD是角平分线. 结论： 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（     ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数． 【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°， ∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A． 【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O． (1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC； (2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)AE+CD=AC，证明见解析 【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可； （3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解． （1）证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC， ∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O． ∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA， ∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC， ∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC）， 即∠AOC=90°+∠ABC； （2）解：AE+CD=AC， 证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°， ∴∠EOA=45°， 在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON， 则在△AEO和△AMO中，， ∴△AEO≌△AMO， 同理△DCO≌△NCO， ∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON， ∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°， ∴∠MON=∠MOA=45°， 过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L， ∴MK=ML， S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML， ∴， ∵， ∴， ∵AO=3OD， ∴， ∴， ∴AN=AM=AE， ∵AN+NC=AC， ∴AE+CD=AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键． 3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝　 　°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝　 °． 【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两