第一部分 第二章 考点测试4 基本不等式-【金版教程】2023高考数学一轮总复习首选用卷全书word（新教材）

考点测试4　基本不等式 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考纲 研读 1.了解基本不等式的证明过程 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 一、基础小题 1．若0<a<，则a(1－2a)的最大值是(　　) A． B． C． D．1 答案　A 解析　由0<a<，得1－2a>0，则a(1－2a)＝·2a(1－2a)≤＝，当且仅当a＝时取等号．故选A. 2．已知m>0，n>0，2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　) A．4 B．2 C． D．16 答案　C 解析　由于m>0，n>0，2m＋n＝1，则＋＝(2m＋n)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当n＝，m＝时取等号．故选C. 3．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　) A．0 B． C．1 D． 答案　A 解析　由于x>0，则y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数y的最小值为0.故选A. 4．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则n的最大值为(　　) A．9 B．12 C．16 D．20 答案　A 解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，＋≥⇒(2a＋b)≥n，(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9(当且仅当a＝b时，取等号)，要想不等式＋≥恒成立，只需n≤9，即n的最大值为9.故选A. 5．若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 答案　A 解析　∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，∴8x＋4y的最小值为4.故选A. 6．已知向量a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，其中x>0，y>0.若a⊥b，则xy的最大值为(　　) A． B． C．1 D．2 答案　B 解析　因为a＝(1，x－1)，b＝(y，2)，a⊥b，所以a·b＝y＋2(x－1)＝0，即2x＋y＝2．又因为x>0，y>0，所以2x＋y≥2，当且仅当x＝，y＝1时等号成立，即2≤2，所以xy≤，所以当且仅当x＝，y＝1时，xy取到最大值，最大值为.故选B. 7．若a>0，b>0，且＋＝，则a2＋b2的最小值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 答案　C 解析　∵a>0，b>0，∴＋＝≥2，∴ab≥2，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴a2＋b2≥2ab≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立．综上，a2＋b2的最小值为4.故选C. 8．已知函数f(x)＝cosπx(0<x<2)，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则＋的最小值为(　　) A． B．9 C．18 D．36 答案　A 解析　函数f(x)＝cosπx(0<x<2)的图象的对称轴为直线x＝1.因为a≠b，且f(a)＝f(b)，所以a＋b＝2，所以＋＝(a＋b)×＝≥×＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故＋的最小值为.故选A. 9．(多选)设x∈(0，＋∞)，y∈(0，＋∞)，S＝x＋y，P＝xy，以下四个命题中正确的是(　　) A．若P＝1，则S有最小值2 B．若S＋P＝3，则P有最大值1 C．若S＝2P，则S有最小值4 D．若S＋P＝3，则S有最大值2 答案　AB 解析　对于A，若xy＝1，则S＝x＋y≥2＝2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故A正确；对于B，若x＋y＋xy＝3，则3＝x＋y＋xy≥2＋xy，解得0<xy≤1(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故B正确；对于C，若x＋y＝2xy，则x＋y＝2xy≤，可得x＋y≥2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故C错误；对于D，若x＋y＋xy＝3，则3＝x＋y＋xy≤x＋y＋，解得x＋y≥2(当且仅当x＝y＝1时取等号)，故D错误． 10．(多选)下列说法正确的是(　　) A．x＋(x＞0)的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是2 D．2－3x－的最大值是2－4 答案　AB 解析　当x＞0时，x＋≥2＝2，A正确；∵x2≥0，∴＝≥，B正确；＝＝＋，令t＝，则t∈[2，＋∞)，∵y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，∴t＋≥2＋＝，即≥，C错误；当x＜0时，2－3x－无最大值，D错误．故选AB. 11．若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值为________． 答案　4 解析　∵正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，∴x＋2y＋－8≥0.设x＋2y＝t＞0，∴t＋t2－8≥0，∴t2＋4t－32≥0，即(t＋8)(t－4)≥0，∴t≥4，即x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，故x＋2y的最小值为4. 12．正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得