专题15 圆锥曲线中的三角形问题-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题15 圆锥曲线中的三角形问题 一、真题剖析 【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以抛物线为载体，考查考生对直线与抛物线的位置关系的综合性应用，侧重于对直线倾斜角的考查。 【必备知识】本题考查直线与椭圆位置关系、线段为定值的问题。 【能力素养】本题考查逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系. 【解析】 （1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率； （2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积． (1)因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线 易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，， 所以，，． 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． (2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以， 因为，所以，即， 即，解得， 于是，直线，直线， 联立可得，， 因为方程有一个根为，所以， ， 同理可得，， ． 所以，， 点到直线的距离， 故的面积为． 二、题型选讲 题型一 由面积求参数或点坐标等基本量的问题 例1、【2020年新课标3卷理科】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】，，根据双曲线的定义可得， ，即， ，， ，即，解得， 故选：A. 变式1、（2020·浙江高三）如图，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为_____． 【答案】 【解析】作点B关于原点的对称点B1，可得S，则有， 所以． 将直线AB1方程，代入椭圆方程后，， 整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0， 由韦达定理解得，， 三式联立，可解得离心率． 故答案为：． 变式2、【2022年新高考1卷】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 【答案】13 【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 变式3、【2020年新课标2卷理科】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】 【分析】 因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】 双曲线的渐近线方程是 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限 联立，解得 故 联立，解得 故 面积为： 双曲线 其焦距为 当且仅当取等号 的焦距的最小值： 故选：B. 变式4、（2022·江苏海门·高三期末）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 作辅助线，利用抛物线的定义可知直角梯形的两底分别等于，利用梯形的中位线定理表示出d，进而表示出，再根据基本不等式求得最小值. 【详解】 如图示：设AB的中点为M,分别过点 作准线l的垂线，垂足为C，D，N， 设 ，则 ， MN为梯形ACDB的中位线，则 ， 由AF⊥BF．可得 ， 故， 因为 当且仅当a=b时取等号， 故， 故选：D. 题型二 求三角形的面积或面积有关的最值问题 例2、(2022·江苏南京市中华中学期中)在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C1以椭圆C2：长轴的两个端点为焦点，以C2的焦点为顶点． (1)求C1的标准方程； (2)过(0，1)的直线l与C1的右支相切，且与C2交于点M，N，