专题18 圆锥曲线中探索性的问题-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题18 圆锥曲线中探索性的问题 一、真题剖析 【2019年新课标1卷文科】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切． （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径． （2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． 【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题。 【必备知识】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题问题。 【能力素养】本题考查逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解.（1）设，，根据，可知；由圆的性质可知圆心必在直线上，可设圆心；利用圆心到的距离为半径和构造方程，从而解出；（2）当直线斜率存在时，设方程为：，由圆的性质可知圆心必在直线上；假设圆心坐标，利用圆心到的距离为半径和构造方程，解出坐标，可知轨迹为抛物线；利用抛物线定义可知为抛物线焦点，且定值为；当直线斜率不存在时，求解出坐标，验证此时依然满足定值，从而可得到结论. 【解析】（1）在直线上       设，则 又       ，解得： 过点，       圆心必在直线上 设，圆的半径为 与相切        又，即 ，解得：或 当时，；当时， 的半径为：或 （2）存在定点，使得 说明如下： ，关于原点对称且 直线必为过原点的直线，且 ①当直线斜率存在时，设方程为： 则的圆心必在直线上 设，的半径为 与相切        又 ，整理可得： 即点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点 ，即抛物线上点到的距离        当与重合，即点坐标为时， ②当直线斜率不存在时，则直线方程为： 在轴上，设 ，解得：，即 若，则 综上所述，存在定点，使得为定值. 二、题型选讲 题型一、是否存在参数的成立问题 例1、（2022·山东淄博·高三期末）已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为． (1)求C的方程； (2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【解析】 【分析】 （1）根据F到渐近线的距离为，可求得b，再根据渐近线方程可求得a,，即得双曲线方程； （2）假设存在，设直线的方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，然后表示出点M，N的坐标，进而得到向量的坐标，利用其数量积为零，将根与系数的关系式代入，看能否解出参数t的值，即可得答案. (1) 双曲线一条渐近线方程为 ， 焦点 ，则焦点到准线的距离 ， 由F到渐近线的距离为可知： ， 由渐近线方程为知： ，故 ， 所以双曲线方程为： ； (2) 设直线l的方程为 ， 联立 ，整理得： ， 设 ，而 , 则 ， 所以 ， ， 假设存在实数t，使得，则 , 故由方程： ,令得 ， 同理方程： ,令得， 所以， 即 ， 则 ， 即 ，解得 ， 故存在实数，使得. 变式1、（2021·江苏南京市高三三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，经过的直线与交于两点. （1）若，求长度的最小值； （2）设以为直径的圆交轴于两点，问是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设，由， 可得＝＝， 当y0＝±2时，|AP|取得最小值2； （2）设直线AB的方程为，， 联立可得，即有， 设以AB为直径的圆上任一点 所以Q的轨迹方程为 所以Q的轨迹方程化为 令y＝0，得 所以上式方程的两根分别为x3，x4，，则 由，可得x3x4＝﹣4，即有t2﹣4t＝﹣4，解得t＝2． 所以存在t＝2，使得． 变式2、（2021·辽宁实验中学高三模拟）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到右焦点F距离的最大值为3，最小值为 （1）求椭圆的标准方程： （2）设和是通过椭圆的右焦点F的两条弦，且.问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设椭圆C的方程为，半焦距为 根据椭圆的几何性质可得，椭圆的左顶点到右焦点的距离最大，且为a+c， 椭圆的右顶点到右焦点的距离最小，且为a-c，即， 解得：所以 椭圆C的方程为 （2）当MN和PQ一个斜率不存在另一个为0时，不妨令MN斜率不存在， 则， 所以 当MN和PQ斜率都存在时， 设直线MN的方程为，直线PQ的方程为. 联立方程得： ，， 则 同理可得 则 综上可知存在常数，使得恒成立. 变式3、(2022·武