圆锥曲线-交轨法专项训练-2026届高三数学三轮冲刺复习

圆锥曲线-交轨（轨迹）法 1.核心原理：有两条（或多条）含同一参数入的动曲线（常为动直线）： C:f(x,y,)=0,C2:f(x,y,2)=0 它们的交点P(x,y)同时在两条曲线上，故坐标同时满足两方程；消去参数入，得到只含 x,y的方程F(x,y)=O,即为交点P的轨迹方程。 总结：两条动曲线，共参、联立、消参，得交点轨迹。 2.标准步骤(4步) (1)设参：设动点P(x,y),引入公共参数入（如斜率k): (2)写方程：写出两条动曲线方程 :y=k(x-0.山y=x+a)）(参数k (3)消参：联立两式，用加减/乘除/平方/代入消去入： 例：两式相乘：y2=-(x2-a2)→x2+y2=a2 (4)验范围：剔除增根、限制x,y范围。 3.关键技巧（快速消参） (1)相乘消参：两直线斜率互为负倒数、对称式，相乘可消k; (2)相除消参：齐次式、斜率比问题，相除后平方消参： (3)韦达消参：涉及二次曲线交点，用韦达定理整体代换； (4)同构变形：两方程结构相似，构造同构式消参。 例1.(2023年新高考卷2)已知双曲线C的左焦点为(-2W5,0),离心率√5 (1)求双曲线C的方程： (2)记C的左、右顶点分别为A,A两点，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M、N两点， M在第二象限，直线AM与AN交于P，,求证：P在定直线上. 例2.(2025年8省联考)已知椭圆C的离心率为1，左、右焦点分别为F(（-1,0),F,(1,0) (1)求C的方程 (2)已知点M,(1,4),证明：线段FM。的垂直平分线与c恰右一个公共点 (3)设M是平面内动点，且线段M的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明：M的 轨迹为圆，并求圆的方程 3:(2021年T8)已知圆C:之+(a>b>0)与抛物线M:yF4有公共焦点 抛物线准线被椭圆截得的弦长为3 (1)求椭圆C的方程 (2)过椭圆C的右焦点作一条斜率为k(k≠0)的直线交椭圆A、B两点，交y轴于点E, P为AB中点，过点E作直线OP的垂线交OP于点Q,问是否存在一定点H,使得 QH为定值？若存在，求出H的坐标，若不存在，请说明理由。 例4.(2026年成都三诊18题) 已知椭圆C:r =1的左焦点为F 43 (1)求C的离心率 (2)P(x,),(,≠0)为C上一点，C在P处切线为1 ()证明： l的方程+心=1 43 (ii)设C的右定点为A,l交直线m:x=2于点Q,PA与FQ交于点R,O 为坐标原点，求OR|的最小值 例5.如图，椭圆 $$T _ { i } ： \frac { x ^ { 2 } } { m } + \frac { y ^ { 2 } } { n } = 1 \left( m > n > 0 \right) ，$$ $$I _ { 2 } ： \frac { x ^ { 2 } } { n } + \frac { y ^ { 2 } } { m } = 1 ，$$ ，已知 $$T _ { 1 }$$ 右顶点 H(2，0) ，且它们的交点分别为 $$P _ { 1 } \left( 1 ， 1 \right) ， P _ { 2 } \left( - 1 ， 1 \right) ， P _ { 3 } \left( - 1 ， - 1 \right) ， P _ { 4 } \left( 1 ， - 1 \right)$$ (1)求 $$T _ { 1 } .$$ $$1 与 T _ { 2 }$$ 的标方程 (2)过点 $$P _ { 1 }$$ 作直线 MN $$C _ { 1 }$$ 于点 M， ，交 $$T _ { 2 }$$ 于点N，设直线 $$P _ { 3 } N$$ 的斜率为 $$k _ { 1 } ，$$ 直线 $$P _ { 3 } N$$ 的斜率为 $$k _ { 2 } ，$$ ，则 (上述各点均不重 合) (3)点 $$Q _ { 1 }$$ 是 $$T _ { 1 }$$ 上的动点，直线 $$Q _ { 1 } P _ { 1 } N _ { 2 }$$ 于点 $$Q _ { 2 } ，$$ ，直线 $$Q _ { 2 } P$$ $${ T _ { 1 } }$$ 于点 $$Q _ { 3 }$$ ，直线 $$Q _ { 3 } P _ { 3 }$$ 交 $$T _ { 2 }$$ 于点 $$Q _ { 4 } ，$$ ，直线 $$Q _ { 4 } P _ { 4 }$$ 交直线 $$Q _ { 1 } P _ { 1 }$$ 于点N，求G的坐标。使得直线 NG 与直线 NH 的斜率之 积为定值 y N $$Q _ { 2 }$$ $$P _ { 1 }$$ $$P _ { 2 }$$ $$P _ { 1 }$$ M $$Q _ { 1 }$$ N Hx $$Q _ { 3 }$$ H $$P _ { 3 }$$ $$P _ { 3 }$$ $$P _ { 4 }$$ $$Q _ { 4 }$$圆锥曲线-交轨（轨迹）法 1.核心原理：有两条（或多条）含同一参数λ的动曲线（常为动直线）： C1:f(x,y,2)=0,C2:f5(x,y,2)=0 它们的交点P(x,y)同时在两条曲线上，故坐标同时满足两方程：消去参数入，得到只含 X,y的方程F(x,y)=O,即为交点P的轨迹方程。 总结：两条动曲线，共参、联立、消参，得交点轨迹。 2.标准步骤(4步) （D设参：设动点Px,),写引入公共参数入（如斜幸k)； (2)写方程：写出两条动曲线方程 y=k(c-a,凸y三x+a)(参数D (3) 消参：联立两式，用加减/乘除/平方/代入消去： 例：两式相乘：y2=-(r2-a)→x2+y2=a2 (4)验范围：剔除增根、限制x,y范围。 3.关键技巧（快速消参） (1)相乘消参：两直线斜率互为负倒数、对称式，相乘可消k: (2)相除消参：齐次式、斜率比问题，相除后平方消参； (3)韦达消参：涉及二次曲线交点，用韦达定理整体代换： (4)同构变形：两方程结构相似，构造同构式消参。 例1.(2023年新高考卷2)已知双曲线C的左焦点为(-2W5,0),离心率V5 (1)求双曲线的方程： (2)记C的左、右顶点分别为A,4两点，过点(4,0)的直线与C的左支交于M、N两点， M在第二象限，直线4M与4，N交于P,求证：P在定直线上. 【解析】【分析】(1)利用双曲线性质直接求出a,b与曲线C方程； (2)分类讨论斜率的两种情况，过x轴上定点(-4,0)的直线可设为x=y-4,联 立双曲线方程，再利用点斜式表达出MA1,NA2方程，联立求其交点，进而结合韦达 定理化简整理求解。 【答案】(1)设双曲线方程为 x y2 61, 又：左焦点F,-25,0,离心率9=5， 可得c=25,a=2,b=c2-a=4.双曲线方程为父y 4161 (2)由(1)知A1-2,0,A22,0, 设Mx1,y1,Nx2,y2, ①若直线MN斜率为O,则此时M、N、P均为定点，可视作点P在定直线上. ②若直线MN斜率不为0，由直线过定点（-4,0)， ∴.设MN:x=my-4, 畔×-6=1，整理得：4m2-1y-32my+48=0, x=my-4 3」 其中A=644m+3>0,y+y42, ”yy2=48 my y2=(y+y2) 2 4m2-1 直线MA,的斜率k= X1+2 即1此时直线MA的方程为y三x,+2x+2) 同理可得直线MA,的方程为y=2,（X-2) X2-2 x+2_y2(x1+2)_y2(my-2)_y2-2y2 联立方程可得x-2y(x,-2)y(my,-6)myy2-6y 8+223-2y 204+2)-6y -9y+3y23 解得x=-1, 即点P在定直线x=-1上运动。 例2. (2025年8省联考)已知椭圆C的离心率为2，左、右焦点分别为 F（-1,0),F,1,0) (1)求C的方程 (2) 已知 M,,4,证明：线段FM,的垂直平分线与c拾右-个公共点 (3) 设M是平面内动点，且线段 M 的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明：M 的轨迹为圆，并求圆的方程 ,、、C:2+b2《白O) 且c=la=2.b=5 c+ -=1 曲线C:43 (2)设FM,的中点P,则P(0,2)k=2则线段FM,的垂直平分线 y=- 2+2 x2,y2 2t+2 =1 直线 与曲线43联立，化解可得x2-2x+1=0△=0 所以线段F,的垂直平分线与C恰右个公共点 ③设FM的中点H,先求H的轨迹H是直线M与线段FM, 的垂直平分线的交点。 意线 的垂直平分线与曲线C右个交点，设交点为G(,%）,设乃>0，则 2x 3 4 h* 2 4 4 s、 30 4■ 4yo 切线斜率 1-4 同理：当%<0 时 4y% 3(x-x0 切线方 y-%40 即为3x,x+4%y=12 当人=0时.直线3r+4W=12也符合题意 设直线FM:4r-3y=t,且过，(l,0) 所以t=-4, 则直线M.4r-3x,y=4% 联立3xx+4%y=12 （1)与4%-3y=4%(2)消去参数%( +父=1 43) (1)的平方加上(2)的平方得到9x2+16,2x2+y)=36+4,2 则H的轨迹：r+y2=4 设M红，则3（号+学=4 则M轨迹：(《-+y=16 C: 例3.（2021年T8)己知椭圆 a+6=a>b>0 与揽物线M:=4水有公共焦 点，抛物线准线被椭圆截得的弦长为3 (1)求椭圆C的方程 k(1≠0) (2)过椭圆c的右焦点作一条斜率为 的直线交椭圆A、B两点，交y轴于点 E,P为AB中点，过点E作直线OP的垂线交OP于点Q,问是否存在一定点H,使 得QH为定值？若存在，求出H的坐标，若不存在，请说明理由。 (2)利用点差法等于斜率关系，再求Q的轨迹 【解析】 2b2 c=1 =3 (1)由已知 a 则0=2，b2=3 x2 y2 =1 椭圆c:43 y+y2 飞ak=五.2=2-22 2)设1，yB,bPx,) x1-x32+2x2-x2 2 /G 2-E+空-0kk=-} 由”得到 43 4 lay=(r-)则50，oy= 4x：y= 联立花消参，P的轨迹 2=-x2+3 即-+r 64 g， OH=3 则 例4.(2026年成都三诊18题)已知椭圆4'3的左焦点为F (1)求C的离心率 (2) Po,)b(0≠0)为C上一点，C在P处切线为 +=l ()证明：1的方程43 (i)设C的右定点为A,I交直线m:x=2于点Q,PA与FO交于点R,0 为坐标原点，求OR的最小值 解析：()证明：椭圆的切线方程，关键：确定切线斜率，利用导数的几何意义（只有函 数定义) ()目标确定R的轨迹，直线PA与直线FQ相交，消去“参数” ()设 Px%)%>0.则 2x 一4 2 4 4 t=_V3 3X0 4 4yo 切线斜率 V1-4 k=-3 ,同理：当%<0 时 4y0 y-y 3(x-x) 4 yo Xox+yoy=1 切线方程 即为43 -2,k4= () 02,2二k0二2y 七-2 2(x+)y=2x-2) Iro:y= 2% x,-2 则R轨迹 2x+1x-2)x-1,2 1of=+g=g-+x2比+分+ 4 时， 4 制5，知.前兰名=烟>≥0.的r,无+兰-1.已r右顶点 m n n m H2,0),且它们的交点分别为，1，乃(-1，)，P(-1-1),P1,-) D求「与「的标准方程 (2)过点B作直线M交于点L,交于点N设直线PM的斜率为：，直线N k2 的斜率为人？，则片（上述各点均不重合） (3)点9是「上的动点，直线交「2于点，直线交「于点0，直线2交 「2于点Q,直线QP交直线于点N,求G的坐标。使得直线NG与直线MH的斜率之 积为定值 1 P M 0 P e 解析 (2)考察椭圆第三性质应用，本质“点差法” 3)目标求N轨迹，利用2问构造斜率关系得到斤与4关系。 r+3y=1 3x2-1 [答案](1) 44 44 (2)设M(,6,N6,0 心 41 3 骨 k=9 由于w=p,N所以 ③9020，(G,⅓00&，4，N,) k=k阳=--h二1y-1 x-1x2-1x-1 4=6a=515-」 x2+1x3+1 k3=kn 。=+14+1 x3+1x+1 &。 由(2)知水e-3 k=3→5=-1-30+D=2-1-365+-2-1-3+0 kper 为2-1+1为2-1++1x32+1+y2-1 (比例性 质) y2-1-3 ÷5+1 k2-3 1+五百1+6 3+k 七2+1 k21-k 同理：东h2=-3 飞=3→k=4+1-3x-0-+1-3:-0-+1-3x-) x4+1y4-1x4+1+y4-1x4-1+y4+1 y4+1-3 =41 k4-3 1+y+11+k 飞、专3 x4-1 Γ1+k4 同理： kka=-青 1→6=当0-4 k2二-3kp2 x3+13(y3+1)1+3k3 k4-3-1 k-1=1+k -1 飞=3+1+流1+3丽-2 所以1k。 1+k4 3+y-1 x-1= -1 1-y可y+!-2 则x-1x-1 得到N的轨迹：y=(x-2)5r-6 y =-2 x-2 65 又 x-2 所以 5 cg50