第03讲 截长补短模型-【多题一解&一题多解】冲刺2023年中考数学满分应对方法与策略（全国通用）

第03讲 截长补短模型 【应对方法与策略】 截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短． 1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等； 2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。 3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用. 如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法. 截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可； 补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可. 【多题一解】 1．（2021·内蒙古·呼和浩特市敬业学校九年级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D重合）连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交点F，设CM＝x，△DFM的面积为y，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和角平分线的性质得到，在BC上截取，连接MH，证明即可得解； 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∵DF平分， ∴， ∴， 在BC上截取，连接MH， 则是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴，， ∵MF⊥BM， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，动点问题的函数图像，全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 2．（2022·江苏徐州·模拟预测）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明） （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）结论不成立，EF＝BE﹣FD，见解析 【分析】（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出EF＝EG，结合图形计算，证明结论； （2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答； （3）在EB上截取BH＝DF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答． 【详解】解：（1）EF＝BE+FD， 理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF， ∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴EF＝EG， ∵EG＝BG+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+FD， 故答案为：EF＝BE+FD； （2）（1）中的结论仍然成立， 理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°， ∴∠1＝∠D， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠3＝∠2， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠2+∠4＝∠EAF， ∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF， 在△MAE和△FAE中， ， ∴△MAE≌△FAE（SAS）， ∴EF＝EM， ∵EM＝BM+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+FD； （3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD， 理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH， 同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF， ∴AH＝AF，∠BAH＝∠