专题01 指数与指数函数（精讲）-2022-2023学年高一数学常见考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

专题01指数与指数函数（精讲） 知识梳理 一 实数指数幂及其运算 1．有理指数幂 （1）一般地，an中的a称为底数，n称为指数． （2）一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得，则x称为a的n次方根． ①0的任意正整数次方根均为0，记为． ②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为；负数的偶数次方根在实数范围内不存在． ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为．而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． （3）当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． 一般地，根式具有以下性质：① . ② （4）一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定；当没有意义时，称没有意义．对于一般的正分数，也可作类似规定，即．但值得注意的是，这个式子在不是既约分数(即m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义． 负分数指数幂：若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定 （5）有理指数幂的运算法则：，， ． 2．实数指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数．因此，当a>0时，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义． 二 指数函数的性质与图像 1.指数函数的定义 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 2.指数函数y＝ax(a>0且a≠1)具有下列性质： （1）定义域是. （2）值域是，即对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图像一定在x轴的上方. （3）函数图像一定过点. （4）当a>1时，y＝ax是增函数；当0<a<1时，y＝ax是减函数. （5）指数函数的图像. 注意： 底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.当a＞1时，指数函数的图像是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图像是“下降”的. 常见考点 考点一 根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化 典例1.求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】根据给定条件结合根式的运算性质直接计算作答. (1) . (2) . (3) . (4) . 变式1-1．化简下列各式： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用根式的性质可计算得出所求代数式的值； （2）分和两种情况讨