第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮复习讲义（老教材，北师大版）

第3节-函数的奇偶性与周期性 法二(图像法）作出函数f(x)的图像，由图像关于原点对称的特征 知函数f(χ)为奇函数。 ―必备知识·课前回顾 知识梳理 1.原点_任意原点y轴 2.(1)f(x-T)一f(τ)-1o1―□ （2)存在一个最小 对点自测 1.B A为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数。故选且 4-：x^22a 2.B因为f(x)是定义在R上周期为3的函数， (4)因为，，+3≠3-─2≤4≤2且x≠0， 所以函数的定义域关于原点对称， 又当0≤x≤1对。f(x)=x^2-x。所以f(x)=4-=\sqrt{4}-x^2， 则f(÷)-了-2--7.放选1 又f(-x)=122=422. 3.解析：因为f(x)是偶函数，函数的定义域关于原点对称，所以a+ 所以f(-x)=-f(x)，即函数/(x)是奇函数． 2b=0． ！考点二。函数的周期性及其应用 答案：0 4.解析：由题意可得f(8)=f(8)=8}=（2^5)+=2^2=4.│例1：解析：当x∈-2，0]时，一x∈0，2， 答案：―4由已知得f(─x)=2×(一x)-(-x)^2=-2x-x^2， 又j(x)是奇函数， 5.解析；取f(x)-sin下面为证明过程：所以f(―x)=-f(x)=-2x-32， 所以当x∈L-2，0]对，f(x)=x^3+2r。 显然，其定义域为R； 又当x∈[2，4]时，x一4∈[―2，0]： 由f()-sn(音)-s(于)-f(x)：所以f(x-4)=(x-4)^x+2(x-4)。 又f(x)是周期为4的周期函数， 放f(x)=sin于x为奇函数；所以f(x)-(x-4)-(x-4)^2-2(x-4)-x^2-6x+8， 时，f(x)-x^2-6x-8. 故当x∈[2，]的积” 又/(2-x)=s[于(2-x)]=s(x-号x)=sn号x-f(x)。答案：f(x)=x^2―6x- 答案：sin否r(答案不唯一） ⋮[典例迁移1]解析；依题意函数的一个周期是4，且f(1)-2，所以 3)―j3―1)～f(-1)-―f（1)--2.又f(2)一f(2-4)- 关键能力·课堂突破j―2)=-j(2)，故f(2)=0.由奇函数的定义f(―x)=一f(x)。可 考点一函数奇偶性的判断及应用知f(0)--f(―0)--f(0)，则f(0)-0，因此f(4)-0. 1.B法一—因为当x<0时，/(x)=2x^2-2，所以f(-1)=0，又函数改f(1)+f(2)+f(3)+f(4)-2+0-2+0-0， 是奇函器结合2(028=4×505-3.可知f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022)+ 则fα)-0，f(-2)-2×(-2)^2-2-2x4-2-8-2-6--f(2)。f(2023)-505|f1+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)+f(3)- 即f(2)-6.所以f(f(1))+f(2)-6.故选B2+o+(2)-0. 法二”因为当x<0时，f(x)-2x^22，答案；0 ”7_：=，则fG(-1)=f0)=v2-2r^2-2，又因为函侧迁移2]解：因为对任意x∈R，都有f(+2)-f(x 设x>0，则一x<0.所以f(一x)=2(- 数满足f(―x)-一f(x)，所以f(xl4)=f(x22)=-fx12-1=f(x)， 即一f(x)-2x^2-2，因此f(x)-2-2c^2放f(2)-2-2×2^2-—6．f(x) 故f(f(1))+f(2)-6.故选B所以f(x)的一个周期为4. 2.D法-—根据题意，函数f(x)=3|a·3·是奇函数，则假设函数f(x)是奇函数，则由奇函数的定义/(―x)=-f(x)，可知 _(一x)=一f(x)，即3x+a·3-∘=-(3-x-a·3)，变形可得(a＋（0)=-(-0)=-f(0)，则f(0)=0，且f(2)=f(2─4)=f(-2)= 1)(3^x+3-x)-0，解得ω--1，则f2)-3-2-3^2--9.故选D.一f(2)，故f(2)-0，结合f(2)-/(0+2)--因此函数f(r)不 法三。由于函数f(x)-3‘+a·3”是奇函数且定义域是R。因此可能是奇函数。 f(0)-)，即1la-0，因此a-1，则f(2)-3^2-3^2-。故[针对训练] 选D.上i.B因为r)是定义在R上的奇函数，1-r） 3.解析：由f(x)-g(x)-r^3-x^2+2以及函数f(x)和g(x)分别是定I’-fa)， 又在R上的偶函数和奇函数可得f(―x)一g(―x)=(-x)^3++1)-/(一r)~一f(x)， x)^2+2-x^3+x^2-2.即f(x)-g(⊥)-^3+x^2+2，解得十2)-j（x)’ fx)=x”2，g(x)=-x。所以f(x)的周期为2， 答