专题3.2 基本不等式（4类必考点）-2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列（苏教版2019必修第一册）

专题3.2 基本不等式 【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 1 【考点2：由基本不等式证明不等式】 1 【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 9 【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 14 【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 【知识点：基本不等式】 一．基本不等式：≤ （1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0. （2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 二．几个重要的不等式： （1），，当且仅当a＝b时取等号； （2），>0，当且仅当a＝b时取等号； （3），，当且仅当a＝b时取等号； （4），，当且仅当a＝b时取等号； 三. 利用基本不等式求最值问题： 已知x>0，y>0，则： （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.（简记：积定和最小） （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.（简记：和定积最大） 1．（2022春•甘孜州期末）​的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用基本不等式的性质可求得答案． 【解答】解：由已知函数 ， ∵x≥1，∴​， ∴​， 当且仅当​，即x＝2​时等号成立， ∴​当x＝2​时，函数​有最小值是4， 故选：C． 2．（2022春•青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】直接利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝4， ∴， 当且仅当x＝y＝2时，等号成立． 故选：B． 3．（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数a，b满足，则a+2b的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（）﹣1，结合基本不等式求解即可． 【解答】解：∵正实数a，b满足， ∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（）﹣1＝51≥5+21＝8，当且仅当a+b＝2（b+1）时等号成立， 故选：B． 4．（2022春•尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　） A．8 B． C．9 D． 【分析】由条件可得1，x+2y＝（x+2y）（）＝5，运用基本不等式即可得到所求最小值． 【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，可得：1， 则x+2y＝（x+2y）（）＝55+25+4＝9，当且仅当x＝y＝3，取得最小值9． 故选：C． 5．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则的最小值为（　　） A． B．4 C． D． 【分析】由题可知ab2，再利用基本不等式求解即可． 【解答】解：∵正实数a、b满足a+b＝4， ∴ab2≥22＝4． 当且仅当ab，即ab＝1，a+b＝4时取等号， ∴的最小值为4． 故选：B． 6．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（　　） A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞） 【分析】由题意可得ab2≥＝4，将化为am，再利用基本不等式可求得m的范围． 【解答】解：因为a，b为正实数，所以ab2≥2+2＝4， 当ab，即ab＝1时等号成立，此时b， 又因为，所以am， 所以由基本不等式可知a2（a＝1时等号成立）， 所以m≥2． 故选：B． 7．（2022春•温州期末）若正数a，b满足a+b＝ab，则a+2b的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：因为正数a，b满足a+b＝ab， 所以1， 则a+2b＝（a+2b）（）＝33+2， 当且仅当且1，即a＝1，b＝1时取等号， 所以a+2b的最小值为3+2． 故选：C． 8．（2022春•朝阳区校级期末）已知，求的最小值 　　． 【分析】根据配方法可得y＝x﹣1，利用基本不等式即可求最小值． 【解答】解：因为x﹣1＞0， 所以 ， 当且仅当即x1时等号成立． 故答案为：3+2． 9．（2022春•丽江期末）若正数a，b满足a+2b＝ab，则2a+b的最小值为 　　． 【分析】将等式a+2b＝ab转化为1，本题化为基本不等式的常见模型，“1”代换法的模型，接下来用“1”代换法做下去即可． 【解答】解：将等式a+2b＝ab两边同除以ab，得1， 2a+b＝（2a+b）（）＝41≥5+29， 当且仅当时， 即a＝b＝3时，2a+b的最小值为9． 故答案为：9． 10．（2022春•台州期末）已知非负实数x，y满足，则x+y的最小值为 　　． 【分析】由x+y（3x+y+2y+2），利用基本不等式求出最小值即可． 【解答】解：∵实数x，y非负，∴3x+y＞0，2y+2＞0， ∴x+y（