专题25 概率统计（解答题压轴题）（全题型压轴题）-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题（新高考版）

专题25 概率统计（解答题压轴题） 概率统计（解答题压轴题） ①概率与函数 ②概率与数列 ③概率综合 ④二项分布 ⑤超几何分布 ⑥正态分布 ⑦非线性回归分析 ①概率与函数 1．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金. (1)若，则乙应该得多少奖金； (2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件） 2．（2022·山东济南·高二期末）在某地区进行某种疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有n（，）个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案： 方案一：逐份检验，需要检验n次； 方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验n＋1次． (1)若，且其中两人患有该疾病，采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率； (2)已知每个人患该疾病的概率为． （ⅰ）若两种方案检验总次数的期望值相同，求p关于n的函数解析式； （ⅱ）若，且每单次检验费用相同，为降低总检验费用，选择哪种方案更好？试说明理由． 3．（2022·浙江·高二阶段练习）学校的“智慧”书屋每学年初向高一新生招募30名左右的志愿者.2021学年初，新高一学生报名踊跃，报名人数达到60人．现有两个方案确定志愿者：方案一：用抽签法随机抽取30名志愿者；方案二：将60名报名者编号，用随机数法先从这60个编号中随机抽取45个，然后再次用随机数法从这60个编号中随机抽取45个，两次都被抽取到的报名者成为志愿者． (1)采用方案一或二，分别记报名者甲同学被抽中为事件和事件，求事件和事件发生的概率； (2)若采用方案二，设报名者甲同学被抽取到的次数为，求的数学期望； (3)不难发现采用方案二确定的志愿者人数不少于方案一的30人．若采用方案二，记两次都被抽取到的人数为，则的可取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？ 4．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费．假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为． (1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． (2)若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望； (3)①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性； ②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值． 参考数据： 5．（2022·全国·高三专题练习）我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响． (1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，． ①求p； ②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率． (2)视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值． 6．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）设，，函数与在x＝0处有相同的切线． (1)求a的值； (2)求证：当时，； (3)若一个盒子里装有n（且）个不同的彩色球，其中只有一个白球，每次从中随机抽取一个，然后放回，只要取到白球就停止抽取，记抽取2次就中止的概率为，抽取3次就中止的概率为，设（且），求证：． 7．（2022·江苏·常州市第一中学高二阶段