专题23 抛物线（解答题压轴题）（全题型压轴题）-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题（新高考版）

专题23 抛物线（解答题压轴题） 抛物线（解答题压轴题） ①抛物线焦点弦问题 ②抛物线中参数范围与最值问题 ③抛物线中定点、定值、定直线问题 ④抛物线综合问题 ①抛物线焦点弦问题 1．（2022·浙江·模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点（在的上方）. (1)若过抛物线的焦点，且垂直于轴时，，求此时抛物线的方程； (2)若直线的斜率，过点作直线的垂线交抛物线于另外一点，当，且的重心落在直线上时，求直线的斜率. 2．（2022·全国·高二课时练习）如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C. (1)若B为线段AC的中点，求直线l的斜率； (2)若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由． 3．（2022·浙江·瑞安市第六中学高二开学考试）已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点． (1)求抛物线E的方程； (2)是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由； (3)证明：内切圆的面积小于． 4．（2020·内蒙古赤峰·高三阶段练习（理））已知曲线的短轴长为，曲线，的一个焦点在的准线上. （1）求曲线的方程； （2）设曲线的左焦点为，右焦点为，若过点的直线与曲线的轴左侧部分（包含与轴的交点）交于，两点，直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，试求的取值范围. 5．（2020·上海浦东新·高三阶段练习）已知点是抛物线上的焦点，、是抛物线上的两个动点． （1）若直线经过点，且，求； （2）若，求证:线段的垂直平分线经过一个定点，并求出点的坐标； （3）若线段与轴交于点，是否存在这样的点，使得为定值，若存在，求出这个定值和点的坐标；若不存在，请说明理由． ②抛物线中参数范围与最值问题 1．（2022·全国·高三专题练习）已知、、，圆，抛物线，过的直线与抛物线交于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与圆交于、两点，记面积为，面积为，求的取值范围. 2．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)（ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围. 3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆，抛物线，O为坐标原点． (1)若抛物线的焦点正好为椭圆的上顶点，求p的值； (2)椭圆与抛物线在第一象限的交点为，过点P但不过原点的的直线l交椭圆于点Q，交抛物线于点M（Q，M不同于点P），若M是线段PQ的中点，求p的最大值，并求当p取最大时直线l的斜率． 4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且； (1)求抛物线C的方程； (2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值. 5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为． (1)求抛物线的方程及点的坐标； (2)设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、，若且，求斜率的取值范围． 6．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、. (1)证明：以为直径的圆经过点； (2)记、的面积分别为、，若，求的取值范围. 7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，离心率，抛物线的焦点是是椭圆上的任意一点，且位于轴左侧，过点分别作抛物线的两条切线，切点分别为. (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)求面积的取值范围. 8．（2022·浙江·高三专题练习）如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上． (1)求点的纵坐标的取值范围； (2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值． ③物线中定点、定值、定直线问题 1．（2022·全国·高三专题练习）已知定点，，定直线：，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍．设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、． (1)求的方程； (2)试判断以线段为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2022·全国·高三专题练习）已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．已知点，记直线的斜率分别为，且，当