专题22 双曲线（解答题压轴题）（全题型压轴题）-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题（新高考版）

专题22 双曲线（解答题压轴题） 双曲线（解答题压轴题） ①双曲线的中点弦问题 ②双曲线中的最值问题 ③双曲线中定点、定值、定直线问题 ④双曲线中向量问题 ⑤双曲线综合问题 ①双曲线的中点弦问题 1．（2022·四川·树德中学高三期中（文））已知抛物线：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为. (1)求的方程； (2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 2．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程及渐近线方程； （2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程． 3．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程. 4．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切． (1)求M的虚轴长． (2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由. ②双曲线中的最值问题 1．（2022·全国·高三阶段练习）在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片上的某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点. (1)证明：为定值，并求出点的轨迹的轨迹方程； (2)若曲线上一点，点分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，求面积的取值范围. 2．（2022·全国·高二期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的最小值． 3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2，焦距为，且点P（0，-1）到渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、E（D在y轴左侧）.记和的面积分别为、，求的取值范围. 4．（2022·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为双曲线：的右顶点，直线与的一条渐近线平行. （1）求的方程； （2）如图，､为的左右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴､轴分别交于点､，试比较与的大小，并说明理由； （3）在（2）的条件下，设过点､的直线与交于､两点，求的面积最大值. 5．（2022·湖南师大附中高二期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：. （3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，，求的最小值. 6．（2022·全国·高二期末）已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、. （1）求等轴双曲线的方程； （2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值. 7．（2022·全国·高二课时练习）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率． （Ⅰ）求该双曲线的方程； （Ⅱ）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标 ③双曲线中定点、定值、定直线问题 1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆A：，直线l（与x轴不重合）过点交圆A于C、D两点，过点B作直线的平行线交直线于点E. (1)证明为定值，并求点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹方程为，直线l与曲线交于M、N两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数入，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．（2022·湖南·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在上. (1)求双曲线的方程. (2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由. 3．（2022·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 4．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值. 5．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为． (1)求m